2014年全国硕士研究生考试数学(一)真题(含解析)
15页1、2014年全国硕士研究生考试数学(一)真题第 1 页,共 15 页2014年全国硕士研究生考试数学(一)真题第 2 页,共 15 页:8999*()2014年全国硕士研究生考试数学(一)真题第 3 页,共 15 页:89999*():89999*()2014年全国硕士研究生考试数学(一)真题第 4 页,共 15 页2014年数学(一)真题解析一一、 、选择题选择题(1)【 【答案答案】(C).【 【解解】对y + sin ,x由由 lim = lim (1 + sin ) = 1, lim (3/ x) = limsin = 0得曲线y =x + sin 有斜渐近线y =x,应选(C).x(2)【 【答案答案】(D).【 【解解】 】 方法一 令 = /(j?) g(j?) = /(a-) /(0)(l j?) /(l)jr且爭(h ) = f 工),当f工)$ 0时,申(z ) = f(工)$0,曲线y =( (p (工)为凹函数, 因为卩(0)=0,甲(1)=0,所以当z G 0,1时,卩(z) W0, 即7(工) g (工),应选(D).方法二 如图所示,当f(工)A 0时,y
2、=/(jc )为凹函数, 因为y=gQ)为连接A(0,/(0)与B(l,/(1)的直线, 所以/(攵)M g (工),应选(D).方法点评:本题考查函数大小比较.利用凹凸性证明不等式是不等式证明的重要方法,设函数/()在a,b上二阶可导,且 /(r)$0(W0),若 f (a) =/(6) =0,则当工 G _a ,b 时,/(工)=0($0).(3)【 【答案答案】(D).【 【解解】 】A = rcos 9 , 令 .b = r sin 9 ,sin 6 + cos 0O2 = (r ,(9) | 守 ,则则0则j、 = JZ dJroU,+,nS/(rcos 0 ,rsin (9)rdr H-Jn /(rcos 9 ,rsin (9)rdr,应选(D).(4)【 【答案答案】(A).【 【解解】 】 令 F(a,b) = (jr a cos x bsin x )2 dj?(jc2 +a2cos2jr+ 62sin2a: 2ax cos x 2bg sin x +2absin x cos jc )dz=2 (o2 + a2cos2jc + 62sin2jr 2bx sin 工工)d
3、_zJ o2014年全国硕士研究生考试数学(一)真题第 5 页,共 15 页由_A 33 71_A 33兀2 3 =7t3+ 2a2+ 4/cos2jc dx + 21) )11 00 1两列不成比例,所以k I 反之,若a】 +kaA,ai +加3线性无关,a】,a2 .3不一定线性无关,如a ,a2线性无关,a 3 =0.显然a( ( + ka3, a 2 + /a:j线性无关,但a ,a,a,线性相关, 应选(A).(7) 【 【答案答案】(E).【解】 由F(B) =0. 5得P(巨)=0.5,由 A 相互独立及减法公式得 P(A -B) =P(AB) =P(A)P(B) =0. 5P(A) =0. 3,则 P(A) =0. 6,从而 F(A) =0. 4,于是 P(B - A) -P(AB) =P(A)P(B) =0. 4 X 0. 5 =0. 2,应选(E).(8) 【 【答案答案】(D).1 f+ 1【 【解解】( (,),) = = :/1(j;)+/2()d3;=yE(X1)+E(X2),02 cos2 j; dj? + 4620sin2 jc dr 4b jc si
4、0 J 0rf . 2 7Tsin x dj? 一 4b o 2 -sin x dxo+ 兀az + id, 一 4k6 ,F: = 2iza = 0 9. 得 a = 0 9 b = 2 9Fb = 2tcZ? 一 4tu = 0A =F:由 AC-B2 应选(A).(5)【 【答案答案】(B).【 【解解】 】2tt ,0b0dB = F鴛=0, C =F; ;b = 2 兀,0且 A 0 得 a = 0 ,b=2时,F(a,b)取最小值,故5 = 0,山=2,a 01)a 0 h=a0 d00 c 0c 0dc 0 d=4兀?0aba0000d0=一 ad ad 一 be ) + be ad 一 be )=一a1 d.2 + 2a bed 一 b2 c2 = 一(ad be)2 ,应选(E).(6)【 【答案答案】(A).【 【解解】 】 若线性无关,I1由(a】+ Z?a3 ,a2 + /a3) = (a】,a2 -a3) 001因为(! .a2 ,a3)可逆9所以a十ba 3, a 2 + /a 3的秩与矩阵0為秩相等,因为11=2,故 a + ba3皿2 +心3线性无关.r
5、0k2014年全国硕士研究生考试数学(一)真题第 6 页,共 15 页E(Y2) =*E(X1)+E(X2),显然 E(YQ =E(Y2).i r+ iE(Y!)=- y2LfAy)+f2(y) )ldy =-E(Xh + ,Z J 8 Z1 1 1 1D(Y1)jE(XD+E(Xl) )-E(X1) )T -E(X2) )T -ECXJECX,) = D(Xi)+0(X2)+*|:E(XD +E(X;)-*E(Xi)E(X2), -jDCXJ + jD(X2) +*E(Xi -X2)2,D(y2) = jEDCXj) +D(X2)J,显然 DCYJ D(Y2),应选(D).二二、 、填空题填空题(9)【 【答案答案】 y z 1 = 0.【 【解解】 】 F =jj2 (1 sin y ) + j/2 (1 sin x ) z ,n = (2h (1 sin y) j/2 cos ,2 (1 sin 工)一工cos y , 1), 在点(1 9 0 9 1 )处的法向量为II = (2 9 1,一 1)9切平面为7T : 2(.z 一 1) 一 y 一 (n 一 1) =0,1 卩
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