2014年全国硕士研究生考试数学（一）真题（含解析）

2014年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 1 页，共 15 页2014年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 2 页，共 15 页:8999*()2014年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 3 页，共 15 页:89999*():89999*()2014年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 4 页，共 15 页2014年数学（一）真题解析一一、 、选择题选择题(1)【 【答案答案】(C).【 【解解】对y + sin ,x由由 lim = lim (1 + sin ) = 1, lim (3/ x) = limsin = 0得曲线y =x + sin 有斜渐近线y =x，应选（C）.x（2）【 【答案答案】（D）.【 【解解】 】 方法一 令 = /(j?) g(j?) = /(a-) /(0)(l j?) /(l)jr且爭（h ） = f 工）,当f工）$ 0时，申（z ） = f（工）$0,曲线y =（ （p （工）为凹函数, 因为卩（0）=0,甲（1）=0,所以当z G 0,1时，卩（z） W0, 即7（工） g （工），应选（D）.方法二 如图所示，当f（工）A 0时,y =/（jc ）为凹函数， 因为y=gQ）为连接A（0,/（0）与B（l,/（1）的直线， 所以/（攵）M g （工），应选（D）.方法点评：本题考查函数大小比较.利用凹凸性证明不等式是不等式证明的重要方法，设函数/（）在a,b上二阶可导，且 /（r）$0（W0）,若 f （a） =/（6） =0,则当工 G _a ,b 时，/（工）=0（$0）.（3）【 【答案答案】（D）.【 【解解】 】A = rcos 9 , 令 .b = r sin 9 ,sin 6 + cos 0O2 = (r ,(9) | 守 ,则则0则j、 = JZ dJroU，+，nS/(rcos 0 ,rsin (9)rdr H-Jn /(rcos 9 ,rsin (9)rdr,应选(D).(4)【 【答案答案】(A).【 【解解】 】 令 F(a,b) = (jr a cos x bsin x )2 dj?(jc2 +a2cos2jr+ 62sin2a： 2ax cos x 2bg sin x +2absin x cos jc )dz=2 (o2 + a2cos2jc + 62sin2jr 2bx sin 工工)d_zJ o2014年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 5 页，共 15 页由_A 33 71_A 33兀2 3 =7t3+ 2a2+ 4/cos2jc dx + 21) )11 00 1两列不成比例，所以k I 反之，若a】 +kaA,ai +加3线性无关,a】,a2 .3不一定线性无关，如a ,a2线性无关,a 3 =0.显然a( ( + ka3, a 2 + /a：j线性无关，但a ,a,a,线性相关, 应选(A).(7) 【 【答案答案】(E).【解】 由F(B) =0. 5得P(巨)=0.5,由 A 相互独立及减法公式得 P(A -B) =P(AB) =P(A)P(B) =0. 5P(A) =0. 3,则 P(A) =0. 6,从而 F(A) =0. 4,于是 P(B - A) -P(AB) =P(A)P(B) =0. 4 X 0. 5 =0. 2,应选(E).(8) 【 【答案答案】(D).1 f+ 1【 【解解】( (,),) = = ：/1(j；)+/2()d3；=yE(X1)+E(X2),02 cos2 j; dj? + 4620sin2 jc dr 4b jc si0 J 0rf . 2 7Tsin x dj? 一 4b o 2 -sin x dxo+ 兀az + id, 一 4k6 ,F： = 2iza = 0 9. 得 a = 0 9 b = 2 9Fb = 2tcZ? 一 4tu = 0A =F：由 AC-B2 应选(A).(5)【 【答案答案】(B).【 【解解】 】2tt ,0b0dB = F鴛=0, C =F； ；b = 2 兀，0且 A 0 得 a = 0 ,b=2时，F(a,b)取最小值，故5 = 0,山=2,a 01)a 0 h=a0 d00 c 0c 0dc 0 d=4兀？0aba0000d0=一 ad ad 一 be ) + be ad 一 be )=一a1 d.2 + 2a bed 一 b2 c2 = 一(ad be)2 ,应选(E).(6)【 【答案答案】(A).【 【解解】 】 若线性无关,I1由(a】+ Z?a3 ,a2 + /a3) = (a】,a2 -a3) 001因为(! .a2 ,a3)可逆9所以a十ba 3, a 2 + /a 3的秩与矩阵0為秩相等，因为11=2,故 a + ba3皿2 +心3线性无关.r0k2014年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 6 页，共 15 页E(Y2) =*E(X1)+E(X2),显然 E(YQ =E(Y2).i r+ iE(Y!)=- y2LfAy)+f2(y) )ldy =-E(Xh + ，Z J 8 Z1 1 1 1D(Y1)jE(XD+E(Xl) )-E(X1) )T -E(X2) )T -ECXJECX,) = D(Xi)+0(X2)+*|：E(XD +E(X；)-*E(Xi)E(X2), -jDCXJ + jD(X2) +*E(Xi -X2)2,D(y2) = jEDCXj) +D(X2)J,显然 DCYJ D(Y2),应选(D).二二、 、填空题填空题(9)【 【答案答案】 y z 1 = 0.【 【解解】 】 F =jj2 (1 sin y ) + j/2 (1 sin x ) z ,n = (2h (1 sin y) j/2 cos ,2 (1 sin 工)一工cos y , 1), 在点(1 9 0 9 1 )处的法向量为II = (2 9 1，一 1)9切平面为7T ： 2(.z 一 1) 一 y 一 (n 一 1) =0,1 卩 2工y 一 z 1=0.(10)【 【答案答案】1.【 【解解】 】 由 /(工)=2(工一1)口 G 0,2得/ (工)=(工一1)2 + C9J： G 0,2, 因为 /(0) = 0,所以 C = 1,故/(7 )=力2 2鼻 M G 0,2，/(7)=/(-1)=-/(1)=1.(11)【 【答案答案】工尹工尹+ +】 】. .【 【解解】xyf + 3/ (In 工ny ) =0 化为岁 + In = 0 ,djr x y令“ =2,则“十工典“in =0,变量分离得-石血_,、=主x ax 况(Inzz 一 1) x积分得 ln(ln w 1) = In jc + In C，艮卩 In u = Cx + 1, 原方程通解为 y = x eCj +1，由 j/ (1) = e3 得 C = 2 ,故 3/ =xex+x. (12)【 【答案答案】Tt.6.x + y dz =Lz = cos t,【 【解解】 】 方法一 令5j/ = sin ,(起点t = 0 9终点t = 2tt),则n = sin 192n f nsinLck + sin t ( cos t)dt = sin2zdz + sin t ( cos )df 0 J 7TL=2 sin2 tdt = 4 2 sin2 tdt =nJ 0 J 0方法二 设截口面上侧为工，则n =(0,1,1) ,cos a = 0 ,cos =丄,cos 7 =丄，由斯托克斯公式得 V2 V22014年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 7 页，共 15 页L01 1do- + 3/ dz = 1133x0而 dS = a/1 + z.2+ zy djr dj/ =麗d_z djy , 所以djr + j/dz =丄dS = dx dj/ = k.L 7(13)答案】2,2./I 0【解】A= 0 -12,A =a2 4,a 20丿 丿因为A的负惯性指数为1,所以|A|0.由 |A|0 得一2aV2.若 |A | = 0 得 a = 2 或 a = 2,当a= 2时，由E-A | = 0得儿=一3,入2=0,入3 =3,负惯性指数为1;当a = 2时，由| XE-A |= 0得入1 = 一3,入2 = 0,A3 = 3,负惯性指数为1,故一2 a o,故X = 为函数y = /()极小值点9极小值为y = 2.cLz 9将（17）【 【解解】 】3y2工=1, y = 23 j： ： azz= e cos y ff e2j cos y ff， ，,3x带z I 32 z _ 2工胃=e f，dx oya2 Z d2z 令况=e cos y 9 由-_7 -7 = ( 4z + eT cos y ) e2J 得3jc dy f2 =4/() +”，或 y()V(“) 解得/(“)=Ge +C2J 土，e工 cos y / + e2r sin2 y / 9U 9G +c2 =0,由 /(o)= 0,yz(0)= 0 得丿I 2 C i + 2 C 2故 f(u) = 7-(e2u e2u)-u.Io 4解得G=_寺C=命,1方法点评：本题考查偏导数与二阶常系数非齐次线性微分方程.偏导数与微分方程结合问题是一种综合和重要的题型，首先按题目要求计算出相应的偏 导数，根据给定的等量关系式将偏导数代入等式中，整理得微分方程，再根据微分方程的类型 对微分方程求解.（18）【 【解解】 】 方法一 令X0：z=l（2+j/2 1）,取下侧，其中X与/围成的几何体为0, 由高斯公式得 （工一1）3djdz + （j/ 1）3dzda;十（z 1）djr Ay = Jjj3（工 一 1 ）2 + 3（.y 1 ）2 + ldv n由三重积分的对称性与奇偶性性质得J_zch=0, JydQ=0,n n从而 /=3（于+夕2） 6工6j/ + 7dp=JJ3（工彳+夕?）+ 7血n n2014年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 9 页，共 15 页臥(3 厂3 +7r)dro3(jc 2 + J/) + 7du = dz deJ o J o J odZ f3 2丄7T +7Zo0dz = 2兀T + I=一 4开 9由于IIx 一 l)3dj/dz + (y 一 1)3 dzdjr + (z Ddx dy =jjz 一 1) djr dj/ = 0 ,故/ =jj (jc 1 )3dj/dz + (3/ l)3dNcLr + (z 1)djr dj/ = 4兀 2方法二 由z x2 + y2得字=2z,字=2，曲面的法向量为=(2z, 2y,l), dx dy2oc _ 2ycos a =/1 + 2 + 4j/29 cos%/1 + 4jc2 + 4y2cos ady dz = cos a dScos ycos y dS = 2工 dr djy ,cos7_1丿1 + 4工 2 + 4j/2cos y dS = 2j/djr dy 9令 D = (z，jy) | x2 y2 0 1 - 13， o 4 - 3_4 /I -210 11 / o 03 -4一一 1 11 -3I1-20010010 0 110-20 1-3则方程组AX-0的一个基础解系为 =（1,2,3,1）1（n）方法一I1由(A ： E)= 04-23-410I1-23-41001-11010 0 0-1101020-300104-31-101方法二2局一 13k 1 1ki6 2-23-4 :10I1-20 5 : 4 12 -31-1101()- 010 -2-1 -3 101-3 i-1-41丿 丿001 -3 i -1 -4 1001；26T、10-2-1-3101-31 -1-412k 2 3-3-12孔+ 13k 3 + 1（紅，紅，力为任意常数）.k2令 B =(X ,X2,X3),得3 =2 k 3紅一4则 AB E 等价于 AX】=ex , AX2 =e?, AX3 = e3 ,