“杨辉三角”与二次项系数的性质(课堂PPT).ppt

1.3.2 “杨辉三角”与二次项系数的性质 1一般地，对于n N*有二项定理:新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？ 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？21615 20 1561(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)2(a+b)6111211331146411510 1051(a+b)nCn0Cn1Cn2CnrCnn表中的每一个数等于它肩上的两数的和这个表叫做二项式系数表,也称“杨辉三角”你发现了什么规律？3 类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角在书中，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它这表明我国发现这个表不晚于11世纪在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的4杨辉三角杨辉三角九章算术杨辉5详解九章算法中记载的表本积平方立方三乘四乘五乘商实6二项式系数的函数观点 展开式的二项式系数依次是： 从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是： 当n=6时，其图象是7个孤立点定义域0,1,2, ,n 7二项式系数的性质 （1）对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式 得到图象的对称轴：82、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项式系数与 第五项的二项式系数相等，课堂练习1、在(ab)展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( )A 第项 B 第项 C 第项 D 第项则n=_B6请问:一般地,当r满足什么范围时，后一项Cnk比前一项Cnk-1要大? 分析:以上问题即Cnk Cnk-1时，求k的范围?9二项式系数的性质 （2）增减性与最大值 由于：所以 相对于 的增减情况由 决定 二项式系数逐渐增大,由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,中间项的取值最大.10二项式系数的性质 （2）增减性与最大值 先增后减n是偶数时，中间的一项（第 项）的二项式系数取得最大值 ；当n是奇数时，中间的两项（第 项）的二项式系数 和 相等，且同时取得最大值。

1615 20 1561111211331146411510 1051111.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 ； 在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为 .2.（x-2)9的展开式中，第6项的二项式系数 是（ ） A.4032 B.-4032 C.126 D.-126C4.在二项式(x-1)11的展开式中,求系数最小的项的系数 最大的系数呢？课堂练习3.指出（a+2b）15的展开式中哪些项的二项式系数最大，并求出其最大的二项式系数最大解: 第8、9项的二项式系数即6435最大12二项式系数的性质 （3）各二项式系数的和 在二项式定理中，令 ，则： 这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于：同时由于 ，上式还可以写成：这是组合总数公式 赋值法13 一般地， 展开式的二项式系数 有如下性质： （1） （2） （3）当 时， （4） 当 时，14例1、证明：在(ab)n展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即证：n-1证明令a=1,b=-1得特例法赋值法15例2、已知 的展开式中只有第10项系数最大，求第五项 依题意，n为偶数，且解：例3、已知(1+a)n展开式里，连续三项的系数比是 3：8：14，求展开式里系数最大的项。

答案：m=3,n=10;最大项为T6=252a516求奇数(次)项偶数(次)项系数的和(1)(2)17求奇数(次)项偶数(次)项系数的和所以（3）求二项展开式系数和，常常得用赋值法，设二项式中的字母为1或-1，得到一个或几个等式，再根据结果求值18求多项式的展开式中特定的项(系数)例5的展开式中, 的系数等于_解:仔细观察所给已知条件可直接求得 的系 数是解法2 运用等比数列求和公式得在 的展开式中,含有 项的系数为所以 的系数为-20求复杂的代数式的展开式中某项(某项的系数),可以逐项分析求解,常常对所给代数式进行化简,可以减小计算量19求展开式中系数最大(小)的项解:设 项是系数最大的项,则二项式系数最大的项为第11项,即所以它们的比是解决系数最大问题，通常设第 项是系数最大的项，则有由此确定r的取值20练习 在 的展开式中，系数绝对值最大的项 解：设系数绝对值最大的项是第r+1项，则所以当 时，系数绝对值最大的项为21三项式转化为二项式解：三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式再利用二项式定理逐项分析常数项得=110722_解：原式化为其通项公式为240括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项,合并时要注意选择的科学性.也可因式分解化为乘积二项式.23例8：已知a,bN，m,n Z ，且2m + n = 0，如果二项式( ax m + bx n )12 的展开式中系数最大的项恰好是常数项，求 a : b 的取值范围。

解：令m (12 r )+ nr = 0，将 n =2m 代入，解得 r = 4故T5 为常数项，且系数最大24分析:本题的左边是一个数列但不能直接求和.因为 由此分析求解两式相加25（1） 二项式系数的三个性质: （2） 数学思想：函数思想二项式系数之和: 最 值:（3） 数学方法 ： 赋值法 、递推法当 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知, 它的后半部是逐渐减小的 当n是偶数时，中间的一项 取得最大时 ；当n是奇数时，中间的两项 ， 相等，且同时取得最大值增减性:n2 (由赋值法求得 )课堂小结26。