九年级数学下册 9.1 抽签方法合理吗深度解析（教材知识详析+拉分典例探究+误区警醒+知能提升训练+探究创新+迷你数学世界，pdf） 苏科版.pdf

第 九 章 概率的简单应用情境导入 “ 不公平” 的游戏相信同学们也经常做数学游戏吧! 但是你们考虑过游戏规则的公平性吗?下面就请同学们来判断一下小红和小明所做的这个游戏是否公平．情景设计: 小红和小明在一起做游戏, 他们用５张同样规格的硬纸片做拼图游戏, 正面如图(１) 所示, 背面完全一样, 将它们背面朝上搅匀后, 同时抽出两张．规则如下:当两张硬纸片上的图形可拼成电灯时, 小红得１分;当两张硬纸片上的图形可拼成小人时, 小明得１分;当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时, 两人都不得分( 如图(２) )．(１)(２)问题: 游戏规则对双方公平吗? 请说明理由．若你认为不公平, 如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平?思路点拨: 显然, 这个游戏对双方是不公平的．试一试, 可以发现: 同时抽出两张硬纸片, 有１ ０种可能, 能拼成电灯的, 有３种可能, 而能拼成小人的, 则只有１种可能, 明显不公平．可将规则修改为“ 当两张硬纸片上的图形可拼成电灯时, 小红得１分; 当两张硬纸片上的图形可拼成房子时, 小明得１分; 当两张硬纸片上的图形可拼成小人或小山时, 两人都不得分” , 这样双方赢的机会一样, 比较公平．点评: 游戏靠的是公平合理的规则, 即双方胜负的机会一样才有意义, 但游戏过程的变化性、 随机性使得游戏的结果也富有戏剧性．本章将告诉你:①学习的重点是: 利用概率解决一些简单的实际问题．②本章的学习难点是: 理解事件发生的频率与概率之间的关系．考点聚集专题１．对概率的认识．专题２．利用概率解决一些实际问题．方法指路１．对概率的认识应通过大量实例, 特别是与我们的生活密切相关的例子来分析研究, 纠正一些错误的认识也有利于对概率的认识．２．对概率的学习重点不在“ 如何计算概率” 上, 应通过典型的例子和实验不断发展随机观念, 理解随机事件发生的不确定性, 以及频率的稳定性, 初步形成用随机观念观察和分析问题的意识．９ ． １ 抽签方法合理吗学 习 目 标 导 航１．澄清日常生活中的一些错误认识．２．了解一些游戏的公平性．３．能利用概率解决一些简单的问题．教 材 知 识 详 析要点１ 用列举法( 列表法、 树状图) 计算一些随机事件在等可能条件下的概率例１ 将形状和大小都一样的红、 白两种颜色的小球分装在甲、 乙两个口袋中, 甲袋装有１个红球和１个白球, 乙袋装有２个红球和１个白球, 现从每个口袋中各随机摸出１个小球．(１) 请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果; (２) 有人说: “ 摸出‘２红’ 和摸出‘１红１白’ 这两个事件发生的概率相等．” 你同意这种说法吗, 为什么?精析: 用画树状图或列表的方法就是帮助我们不重复、 不遗漏地列出所有可能出现的结果, 对于口袋中２个红球可以记为“ 红１” 和“ 红２”．解答: ( 解法一) 列举所有等可能的结果, 画树状图:图９． １Ｇ１( 解法二) 列表如下:甲袋乙袋 红１红２白红红红１红红２红白白白红１白红２白白(２) 不同意这种说法．由(１) , 知P(２红)＝２６＝１ ３,P(１红１白)＝３ ６＝１ ２,∴ P(２红)＜P(１红１白)．有关概率的问题中, 常常有类似(２) 的不正确说法, 想反驳这类错误认 识的办法就是通过画树状图或列表把所有可能出现的结果一一列举出来．要点２ 游戏是否公平的问题游戏是否公平有时存在一定的隐蔽性, 需要我们运用相关数学知识去分析、 评判．如: 抛掷一枚普通的硬币仅有两个可能的结果: “ 出现正面” 和“ 出现反面” , 这两个结果发生的机会相等, 所以各占５ ０％的机会,５ ０％这个数表示事件“ 出现正面”发生的可能性大小．表示一个事件发生的可能性大小的这个数, 叫做该事件的概率．通常, 要判断一个游戏是否公平, 则要考察事件发生的概率是否相同．图９． １Ｇ２例２ 张红和王伟两人争取一张观看北京奥运知识竞赛的入场券, 张红设计了一个方案, 方案是: 转动如图９ ． １Ｇ２所示的转盘, 如果指针停在阴影区域, 则张红得到入场券; 如果指针停在白色区域, 则王伟得到入场券( 转盘被等分成６个扇形．若指针停在边界处, 则重新转动转盘)．计算张红获得入场券的概率, 并说明张红的方案是否公平．精析: 转盘自由转动求概率时, 先要弄清指针指向每个区域的机会是否均等, 再根据转盘所占的份数确定概率．解答: 因为P( 白色)＝３６＝１ ２,P( 阴影)＝３ ６＝１ ２, 即P( 白色)＝P( 阴影) ,所以P( 张红获得入场券)＝P( 王伟获得入场券)．所以张红的设计方案是公平的．把一个圆形转盘分成了６等份, 这样就把等可能条件下的概率( 二) ( 能化归为古典概型的几何概型) 转化为等可能条件下的概率( 一) , 即古典概型．例３ 小明和小华为了获得一张２ ０ １ ０年上海世博园门票, 他们各自设计了一个方案:小明的方案是: 转动如图９． １Ｇ３所示的转盘, 当转盘停止转动后, 如果指针停在阴影区域, 则小明获得门票; 如果指针停在白色区域, 则小华获得门票( 转盘被等分成６个扇区, 若指针停在边界处, 则重新转动转盘)．小华的方案是: 有三张卡片, 上面分别标有数字１,２,３, 将它们背面朝上洗匀后, 从中摸出一张, 记录下卡片上的数字后放回, 重新洗匀后再摸出一张, 若摸出两张卡片上的数字之和为偶数, 则小华获得门票．(１) 在小明的方案中, 计算小明获得门票的概率, 并说明小明的方案是否公平? (２) 用树状图或列表法列举小华设计方案中可能出现的所有结果, 计算小华获得门票的概率, 并说明小华的方案是否公平?图９． １Ｇ３精析: 本题主要考查利用概率判断游戏是否公平问题, 要判断一个游戏是否公平, 则要考察事件发生的概率是否相同．若概率相同, 则这个游戏是公平的; 否则就不公平．本例可以通过计算将事件的概率求出来比较即可．解答: (１) 小明获得门票的概率为P( 小明)＝３ ６＝１ ２, 所以方案公平．(２) 作出树状图图９． １Ｇ４共有９中等可能的结果, 其中两张卡片上的数字之和为偶数有５种．小华获得门票的概率为５９, 所以小华的方案不公平．利用概率判断方案是否合理, 是近几年概率中的热点题型, 此类问题 的本质就是概率的计算, 通过计算作出决策, 充分体现了概率的价值．要判断一个 游戏是否公平, 就是求事件发生的概率, 然后比较它们的概率是否相同．拉 分 典 例 探 究综合应用例１ ( 要点１,２) 甲、 乙、 丙、 丁４名同学进行一次羽毛球单打比赛, 要从中选２名同学打第一场比赛, 求下列事件的概率． (１) 已确定甲打第一场, 再从其余３名同学中随机选取１名, 恰好选中乙同学; (２) 随机选取２名同学, 其中有乙同学．精析: (１) 由一共有３种等可能性的结果, 其中恰好选中乙同学的有１种, 即可求得答案．(２) 先用列举法求出全部情况的总数, 再求出符合条件的情况数目, 两者的比值就是其发生的概率．解答: (１) 已确定甲打第一场, 再从其余３名同学中随机选取１名, 恰好选中乙同学的概率是１３． (２) 从甲、 乙、 丙、 丁４名同学中随机选取２名同学, 所有等可能出现的结果有: ( 甲、 乙) 、 ( 甲、 丙) 、 ( 甲、 丁) 、 ( 乙、 丙) 、 ( 乙、 丁) 、 ( 丙、 丁) , 共有６种, 所有的结果中,满足“ 随机选取２名同学, 其中有乙同学” ( 记为事件A) 的结果有３种: ( 甲、 乙) 、( 乙、 丙) 、 ( 乙、 丁)．∴ P(A)＝３ ６＝１ ２． 例２ ( 要点１,２) 甲、 乙两超市( 大型商场) 同时开业, 为了吸引顾客, 都举行有奖酬宾活动: 凡购物满１ ０ ０元, 均可得到一次摸奖的机会．在一个纸盒里装有两个红球和两个白球, 除颜色外其他都相同, 摸奖者一次从中摸出两个球, 根据球的颜色决定送礼金券( 在他们超市使用时, 与人民币等值) 的多少( 如下表)．甲超市:球两红一红一白两白礼金券( 元)５１ ０５乙超市:球两红一红一白两白礼金券( 元)１ ０５１ ０(１) 用树状图表示得到一次摸奖机会时中礼金券的所有情况; (２) 如果只考虑中奖因素, 你将会选择去哪个超市购物? 请说明理由．精析: 从以上两个表格不难发现, 摸出的两个球, 不管是两红, 还是两白, 一红一白, 顾客均可得到礼金券, 故最终选择哪个超市, 可以比较获得１ ０元礼金券的概率, 或者比较获得礼金券的平均收益．解答: (１) 树状图为:第１个球第２个球图９． １Ｇ５(２) 方法一: 去甲超市购物摸一次奖获１ ０元礼金券的概率是P( 甲)＝４ ６＝２ ３,去乙超市购物摸一次奖获１ ０元礼金券的概率是P( 乙)＝２６＝１ ３,２ ３＞１ ３,∴ 选择去甲超市购物．方法二:∵ 两红的概率p＝１６, 两白的概率p＝１６, 一红一白的概率p＝４６＝２ ３,∴ 在甲商场获得礼金券的平均收益是１ ６×５＋２ ３×１ ０＋１ ６×５＝２ ５ ３( 元) ,在乙商场获得礼金券的平均收益是１６×１ ０＋２ ３×５＋１ ６×１ ０＝２ ０ ３( 元)．∴ 选择到甲商场购物．分析􀅱对比: 我们会因找不到选择去哪个超市购物的依据而犯难, 另外题(２) 的第２种方法不仅要考虑每一种情况的概率, 还要考虑其对应的礼金券金额．探究创新例３ ( 要点１) 已知关于x的不等式a x＋３＞０( 其中a≠０)．(１) 当a＝－２时, 求此不等式的解, 并在数轴上表示出此不等式的解集; (２) 小明准备了十张形状、 大小完全相同的不透明卡片, 上面分别写有整数－１ ０,－９,－８,－７,－６,－５,－４,－３,－２,－１, 将这１ ０张卡片写有整数的一面向下放在桌面上．从中任意抽取一张, 以卡片上的数作为不等式中的系数a, 求使该不等式没有正整数解的概率．精析: 本题把不等式的解法和概率的求法结合在一起考查: (１) 求一元一次不等式的解集并在数轴上表示; (２) 列举法求概率: 把a＝－ １, 􀆻,－ １ ０分别代入不等式, 依次考查有没有整数解．发现整数a取－ １,－ ２时, 不等式有正整数解, 整数a取－ １ ０ ~－３中任意一个整数时, 不等式没有正整数解, 所以P( 不等式没有正整数解)＝８１ ０＝４ ５．解答: (１)x＜３ ２． 在数轴上表示此不等式的解集如图９． １Ｇ６:图９． １Ｇ６(２) 用列举法． 取a＝－１, 不等式a x＋３＞０的解为x＜３, 不等式有正整数解;取a＝－２, 不等式a x＋３＞０的解为x＜３２, 不等式有正整数解;取a＝－３, 不等式a x＋３＞０的解为x＜１, 不等式没有正整数解;取a＝－４, 不等式a x＋３＞０的解为x＜３４, 不等式没有正整数解;􀆻􀆻∴ 整数a取－３至－１ ０中任意一个整数时, 不等式没有正整数解．∴ P( 不等式没有正整数解)＝８ １ ０＝４ ５． 分析􀅱对比: 此题将解不等式的知识与概率结合起来, 正确解不等式是解此类题的前提, 并且字母a的值均为负数, 解不等式时容易出现错误．例４ ( 要点１) 甲、 乙两同学投掷一枚骰子, 用字母p,q分别表示两人各投掷一次的点数．(１) 求满足关于x的方程x２＋p x＋q＝０有实数解的概率; (２) 求(１) 中方程有两个相同实数解的概率．精析: 本题把一元二次方程的根的判别式与概率的求法结合在一起考虑: (１) 方程有实数解的条件是p２－４q≥０, 可通过列表或画树状图找出p,q的值, 验证p２－４q是否大于或等于零． (２) 方程有两个相同的实数解, 只要验证p２－４q＝０即可． 解答: 两人投掷骰子共有３ ６种等可能的情况．(１) 其中方程有实数解的共有１ ９种情况, 故其概率为１ ９３ ６．(２) 方程有相等的实数解的共有２种情况, 故其概率为１ １ ８．知 能 提 升 训 练夯基固本１．( 要点１) 已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为３∶７．如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上, 则落在陆地上的概率是 。