2019-2020学年高中数学课时分层作业12事件的相互独立性.pdf

课时分层作业课时分层作业 十二十二 事件的相互独立性事件的相互独立性 建议用时 60 分钟 基础达标练 1 如图 在两个圆盘中 指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等 则两个指针同时 落在奇数所在区域内的概率是 A B 4 9 2 9 C D 2 3 1 3 A A 左边圆盘的指针落在奇数所在区域内的概率为 右边圆盘的指针落在奇数所在 4 6 2 3 区域内的概率也为 所以两个指针同时落在奇数所在区域内的概率为 2 3 2 3 2 3 4 9 2 一件产品要经过 2 道独立的加工程序 第一道工序的次品率为a 第二道工序的次品 率为b 则产品的正品率为 A 1 a bB 1 ab C 1 a 1 b D 1 1 a 1 b C C 设A表示 第一道工序的产品为正品 B表示 第二道工序的产品为正品 则 P AB P A P B 1 a 1 b 3 甲 乙两队进行排球决赛 现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军 乙队需要再 赢两局才能得冠军 若两队胜每局的概率相同 则甲队获得冠军的概率为 A B 3 4 2 3 C D 3 5 1 2 A A 问题等价为两类 第一类 第一局甲赢 其概率P1 第二类 需比赛 2 局 第 1 2 一局甲负 第二局甲赢 其概率P2 故甲队获得冠军的概率为P1 P2 1 2 1 2 1 4 3 4 4 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次 记 硬币正面向上 为事件A 骰子向 上的点数是 3 为事件B 则事件A B中至少有一件发生的概率是 A B 5 12 1 2 C D 7 12 3 4 C C 依题意得P A P B 事件A B中至少有一件发生的概率等于 1 P 1 2 1 6 A B 1 P P 1 A B 1 2 5 6 7 12 5 设两个独立事件A和B都不发生的概率为 A发生B不发生的概率与B发生A不发 1 9 生的概率相同 则事件A发生的概率P A 是 A B 2 9 1 18 C D 1 3 2 3 D D 由P A P B 得P A P P B P 即P A 1 P B P B 1 P A BABA P A P B 又P A B 1 9 P P P A AB 1 3 2 3 二 填空题 6 两个人通过某项专业测试的概率分别为 他们一同参加测试 则至多有一人通过 1 2 2 3 的概率为 二人均通过的概率为 2 3 1 2 2 3 1 3 至多有一人通过的概率为 1 1 3 2 3 7 在甲盒内的 200 个螺杆中有 160 个是A型 在乙盒内的 240 个螺母中有 180 个是A 型 若从甲 乙两盒内各取一个 则能配成A型螺栓的概率为 从 200 个螺杆中 任取一个是A型 记为事件B 从 240 个螺母中任取一个是A 3 5 型 记为事件C 则P B P C C 1160 C 1200 C 1180 C 1240 能配成A型螺栓的概率P P BC P B P C C 1160 C 1200 C 1180 C 1240 3 5 8 有一道数学难题 在半小时内 甲能解决的概率是 乙能解决的概率是 2 人试图 1 2 1 3 独立地在半小时内解决它 则 2 人都未解决的概率为 问题得到解决的概率为 甲 乙两人都未能解决的概率为 1 3 2 3 1 1 2 1 1 3 1 2 2 3 1 3 问题得到解决就是至少有 1 人能解决问题 P 1 1 3 2 3 三 解答题 9 如图 已知电路中 4 个开关闭合的概率都是 且是互相独立的 求灯亮的概率 1 2 解 记A B C D这 4 个开关闭合分别为事件A B C D 又记A与B至少有一个 不闭合为事件 E 则P P A P B P EBAA B 3 4 则灯亮的概率为P 1 P 1 P P P 1 E C DECD 3 16 13 16 10 某人忘记了号码的最后一个数字 因而他随意地拨号 假设拨过了的号码不再 重复 试求下列事件的概率 1 第 3 次拨号才接通 2 拨号不超过 3 次而接通 解 1 由题意可知 第 3 次拨号才接通的概率为 P 9 10 8 9 1 8 1 10 2 设他第i次才拨通为事件Ai i 1 2 3 则拨号不超过 3 次而接通可表示为A1 A2 A3 A1A1A2 P A1 A2 A3 P A1 P A2 P A3 A1A1A2A1A1A2 1 10 9 10 1 9 9 10 8 9 1 8 3 10 能力提升练 1 在荷花池中 有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去 每次跳跃时 均从一片 跳到另一片 而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍 如图所示 假设现 在青蛙在A片上 则跳三次之后停在A片上的概率是 A B 1 3 2 9 C D 4 9 8 27 A A 由题意知逆时针方向跳的概率为 顺时针方向跳的概率为 青蛙跳三次要回到A 2 3 1 3 只有两条途径 第一条 按A B C A P1 2 3 2 3 2 3 8 27 第二条 按A C B A P2 1 3 1 3 1 3 1 27 所以跳三次之后停在A上的概率为 P1 P2 8 27 1 27 1 3 2 甲 乙两人练习射击 命中目标的概率分别为 和 甲 乙两人各射击一次 有下 1 2 1 3 列说法 目标恰好被命中一次的概率为 目标恰好被命中两次的概率为 目 1 2 1 3 1 2 1 3 标被命中的概率为 目标被命中的概率为 1 其中正确说法的序号是 1 2 2 3 1 2 1 3 1 2 2 3 A B C D C C 设 甲射击一次命中目标 为事件A 乙射击一次命中目标 为事件B 显然 A B相互独立 则目标恰好被命中一次的概率为P A B P A P B BABA 1 2 2 3 1 2 1 3 故 不正确 目标恰好被命中两次的概率为P AB P A P B 故 正确 目标 1 2 1 2 1 3 被命中的概率为P A B AB P A P B P AB 或 1 P BABA 1 2 2 3 1 2 1 3 1 2 1 3AB 1 P P 1 故 不正确 正确 故选 C AB 1 2 2 3 3 已知甲袋中有 3 个白球和 4 个黑球 乙袋中有 5 个白球和 4 个黑球 现从两袋中各 取 2 个球 则取得的 4 个球中有 3 个白球和 1 个黑球的概率为 记 从甲袋中取得 2 个白球 为事件A 从乙袋中取得 1 个黑球和 1 个白球 为 5 21 事件B 则P AB P A P B 记 从甲袋中取得 1 个黑球和 1 个白球 为事 C2 3 C2 7 C1 5C1 4 C2 9 5 63 件C 从乙袋中取得 2 个白球 为事件D 则P CD P C P D 所以取得的 C1 3C1 4 C2 7 C2 5 C2 9 10 63 4 个球中有 3 个白球和 1 个黑球的概率为 5 63 10 63 15 63 5 21 4 设两个相互独立事件A与B 若事件A发生的概率为p B发生的概率为 1 p 则A 与B同时发生的概率的最大值为 事件A与B同时发生的概率为p 1 p p p2 p 0 1 当p 时 最大值为 1 4 1 2 1 4 5 2019 全国卷 11 分制乒乓球比赛 每赢一球得 1 分 当某局打成 10 10 平后 每球交换发球权 先多得 2 分的一方获胜 该局比赛结束 甲 乙两位同学进行单打比赛 假设甲发球时甲得分的概率为 0 5 乙发球时甲得分的概率为 0 4 各球的结果相互独立 在某局双方 10 10 平后 甲先发球 两人又打了X个球该局比赛结束 1 求P X 2 2 求事件 X 4 且甲获胜 的概率 解 1 X 2 就是某局双方 10 10 平后 两人又打了 2 个球该局比赛结束 则这 2 个 球均由甲得分 或者均由乙得分 因此P X 2 0 5 0 4 1 0 5 1 0 4 0 5 2 X 4 且甲获胜 就是某局双方 10 10 平后 两人又打了 4 个球该局比赛结束 且这 4 个球的得分情况为 前两球是甲 乙各得 1 分 后两球均为甲得分 因此所求概率为 0 5 1 0 4 1 0 5 0 4 0 5 0 4 0 1 。