高中数学一元二次方程、函数与不等式知识点串讲+练习题（含答案）.pdf

第 1 页 共 12 页 专题 02 一元二次方程、函数与不等式（知识点串讲） 知识网络 重难点突破 知识点一等式的性质与不等式的性质 (1)对称性：abba. (2)传递性：ab，bcac. (3)可加性：abacbc. (4)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acbc. (5)加法法则：ab，cdacbd. (6)乘法法则：ab0，cd0acbd. (7)乘方法则：ab0anbn0(nN，n2) 例 1 （1） （2018全国高一专题练习）若 0ab ，则下列不等式错误的是（） A 11 ab B 11 aba C ab D 22 ab 【答案】B 【解析】 0ab ， 11 ab ，故A对； 第 2 页 共 12 页 0ab ，0 b ， 0aab ， 11 aab ，故B错； 0ab ， 0ab ，即| | |ab ，| | |ab ，故C对； 0ab ， 0ab ， 22 ()()ab ，即 22 ab，故D对；故选B （2） （2020吉化第一高级中学校高二期末（理） ）已知 0ab ，那么下列不等式 中成立的是（） A ab Ba mbm C 22 abD 11 ab 【答案】C 【解析】由不等式的性质可知，若 0ab ，则： ab ，a mbm ， 22 ab， 11 ab . 故选：C. （3） （2020齐齐哈尔市朝鲜族学校高一期中）若 0ab ，则下列不等式不能成 立的是（） A 11 ab B 11 aba C|a|b|D 22 ab 【答案】B 【解析】 选项 A：由于 0ab ，即 0ab ， 0ba ，所以 11 0 ba abab ，所以 11 ab ，所以成立； 选项 B：由于 0ab ，即 0ab ，所以 11 0 () b abaa ab ，所以 11 aba ，所以不成立； 选项 C：由于 0ab ，所以 0ab ，所以| | |ab ，所以成立； 选项 D：由于 0ab ，所以 0ab ，所以| | |ab ，所以 22 ab，所以成立. 故选：B. 【变式训练 1-1】 、 （2020浙江高一课时练习）设 2,73,62abc，则 , ,a b c 的大小关系为（） Aa bc Ba cb Cb ac Db ca 【答案】B 【解析】 第 3 页 共 12 页 4 73 73 b ， 4 62 62 c ， 7362， 44 7362 ， bc .又 2 26860ac，故a c 综上可得：a cb 故选：B. 【变式训练 1-2】 、 （多选题） （2020山东新泰 泰安一中高二期中）如果 0ab ， 那么下列不等式正确的是（） A 11 ab B 22 acbcC 11 ab ba D 22 aabb 【答案】CD 【解析】 0,0,0,0abbaabab A. 11 0 ba abab ，故错误； B. 222 acbccab ，当 0c = 时， 22 0acbc，故错误； C. 111 10 ab ababab baabab ，故正确； D. 2 ()0aaba ab ， 2 ()0b ababb ，故正确. 故选 CD. 知识点二基本不等式 1、基本不等式(或)均值不等式 ab ba 2 2、基本不等式的变形与拓展 (1)若Rba,则abba2 22 ； (2)若Rba,则 2 22 ba ab （当且仅当 ba 时取“=”） 第 4 页 共 12 页 (3)若00a,b,则ab ba 2 ； (4)若00a,b,则abba2（当且仅当ba 时取“=” ） ； (5)若00a,b,则 2 2 ba ab（当且仅当 ba 时取“=” ） (6)若0 x ,则 1 2x x （当且仅当1x 时取“=” ） ；若0 x ,则 1 2x x （当且仅当1x 时取“=” ） ；若0 x ,则 1 2x x ,即 1 2x x 或 1 2x x （当且仅当ba 时取“=” ） (7)若0ab,则 2 a b b a （当且仅当ba 时取“=” ） ；若0ab ,则2 ab ba ,即2 ab ba 或 2 ab ba （当且仅当ba 时取“=” ） (8)一个重要的不等式链： 22 2 11 22 abab ab ab 例 2.（1） （2020贵州省高二学业考试）已知 0,0 xy ，若 3xy ，则x y 的最小值 为（） A3B2C2 3D1 【答案】C 【解析】由于 0,0 xy ， 3xy ，所以 22 3xyxy ，当且仅当 3xy 时等号成立. 所以x y 的最小值为2 3.故选：C （2）函数( ) 1 x f x x 的最大值为（） A 2 5 B 1 2 C 2 2 D1 【答案】B 【解析】 11 ( ) 112 x f x x x x （当且仅 1 x x ，即1x 时取等号） 。

故选B 【变式训练 1-1】 （1） （2020尤溪县第五中学高一期末）已知 0 x ，函数 4 yx x 的最小值是（ ） A4B5C8D6 第 5 页 共 12 页 【答案】A 【解析】由题意可得， 4 yx x 满足运用基本不等式的条件一正，二定，三相 等，所以 4 yx x ，故选 A （2）设0,0.ab若 11 333 ab ab 是与 的等比中项，则的最小值为（） A8B4C 1D 1 4 【答案】B 【解析】选 B. 因为333 ba ，所以1 ba， 1111 ()()2224 baba ab abababab ， 当且仅当 b a a b 即 2 1 ba时“=”成立，故选择 B. （3） （2020吉林省长春市实验中学高一月考（理） ）已知x， 0,y ， 1xy ， 则 xy的最大值为（ ） A1B 1 2 C 1 3 D 1 4 【答案】D 【解析】因为x， 0,y ， 1xy ，所以有 2 11 12( ) 24 xyxyxy ， 当且仅当 1 2 xy 时取等号，故本题选 D. 【变式训练 2-2】 （1） （2020浙江省高一期中）已知正数a，b满足a+b=1， 则 1b ab 的最小值等于_ ，此时a=_. 【答案】3 1 2 【解析】根据题意，正数a、b满足 1ab ，则 1 1213 bbabbaba abababab ， 当且仅当 1 2 ab 时，等号成立，故 1b ab 的最小值为 3，此时 1 2 a .故答案为：3； 1 2 . （2） （2019全国高一课时练习）正实数 , x y，满足 11 2 xy ，则 2xy 的() 第 6 页 共 12 页 A最小值为 3 2 2 B最大值为 3 2 2 C最小值为 32 2D最大值为 32 2 【答案】A 【解析】 111121 22332 2 222 yx xyxy xyxy ， 所以 2xy 的最小值为 3 2 2 ， 故选:A. （3） （2019全国高一课时练习）函数 2 33 (1) 1 xx yx x 的最小值为（） A.3B.2C.1 D. 1 【答案】A 【解析】 1x ，则 10 x ， 2 2 111331 113 111 xxxx yx xxx ，当 0 x 时取 “=” ，所以正确选项为 A。

知识点三二次函数与一元二次方程、不等式 1.一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不 等式 2.三个“二次”的关系 设yax2bxc(a0)，方程ax2bxc0 的判别式b2 4ac 第 7 页 共 12 页 判别式000 解不 等式 y0 或y 0 的步 骤 求方程y0 的解 有两个不相等 的实数根x1， x2(x1x2) 有两个相等的 实数根x1x2 b 2a 没有 实数根 函数 yax2 bxc(a 0)的图象 不等 式解 集 y0 x|xx1_或x x2 x| x b 2a R y0 x|x1xx2 3.（1）不等式的解集为 R(或恒成立)的条件 不等式 ax2bx c0 ax2bxc0b0，c0 0 a0 0； (2)4x218x81 4 0； (3)2x23x21 2 或x0，所以方程 2x27x30 有两个不等 实根x13，x21 2 .又二次函数y2x27x3 的图象开口向上，所以原不 等式的解集为x| x1 2 或x0，因为942270 的解集为)2 , 2 1 (，则下列结论正确的是() Aa0Bb0 Cc0Dabc0 【答案】BCD 【解析】 因为不等式ax2bxc0 的解集为)2 , 2 1 (， 故相应的二次函数f(x)ax2 bxc的图象开口向下，所以a0，故 A 错误；易知 2 和1 2 是方程ax2bx c0 的两个根，则有c a 10，又a0，c0，故 B、 C 正确；由二次函数的图象可知f(1)abc0，故 D 正确故选 B、C、D. 【变式训练 4-1】 解关于x的不等式 56x2axa20. 【解析】原不等式可化为 780 xaxa ， 即 0 78 aa xx ， 当 78 aa 即 0a 时， 78 aa x ； 当 78 aa 时，即 0a 时，原不等式的解集为； 当 78 aa 即 0a 时， 87 aa x ， 第 11 页 共 12 页 综上知：当 0a 时，原不等式的解集为 78 aa xx ； 当 0a 时，原不等式的解集为； 当 0a 时，原不等式的解集为 87 aa xx . 。