2013年 上海市 高考数学 试卷及解析（文科）.pdf

实用文档 用心整理 千里之行 始于足下 1 2013 年上海市高考数学试卷（文科）年上海市高考数学试卷（文科） 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 14 题，满分题，满分 56 分） ，考生应在答题纸相应编号的空格分） ，考生应在答题纸相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分分，否则一律得零分 1 （4 分）不等式0 的解为 2 （4 分）在等差数列an中，若 a1+a2+a3+a4=30，则 a2+a3= 3 （4 分）设 mR，m2+m2+（m21）i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 m= 4 （4 分）已知，，则 y= 5 （4 分）已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 a2+ab+b2 c2=0，则角 C 的大小是 6 （4 分）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的 40%，在一次考试中， 男，女平均分数分别为 75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 7 （4 分）设常数 aR，若（x2+）5的二项展开式中 x7项的系数为10，则 a= 8 （4 分）方程的实数解为 9 （4 分）若 cosxcosy+sinxsiny=，则 cos（2x2y）= 10 （4 分）已知圆柱 的母线长为 l，底面半径为 r，O 是上底面圆心，A，B 是 实用文档 用心整理 千里之行 始于足下 2 下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图，若直线 OA 与 BC 所成角的大小 为，则= 11 （4 分）盒子中装有编号为 1，2，3，4，5，6，7 的七个球，从中任意抽取 两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示） 12 （4 分） 设 AB 是椭圆 的长轴， 点 C 在 上， 且CBA=， 若 AB=4， BC=， 则 的两个焦点之间的距离为 13 （4 分）设常数 a0，若 9x+对一切正实数 x 成立，则 a 的取值范 围为 14 （4 分）已知正方形 ABCD 的边长为 1，记以 A 为起点，其余顶点为终点的向 量分别为；以 C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 ，若 i，j，k，l1，2，3，且 ij，kl，则 的最小值是 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生分）每题有且只有一个正确答案，考生 应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律分，否则一律 得零分得零分 15 （5 分）函数 f（x）=x21（x0）的反函数为 f 1（x） ，则 f1（2）的值是 （ ） 实用文档 用心整理 千里之行 始于足下 3 A B C1+ D1 16 （5 分）设常数 aR，集合 A=x|（x1） （xa）0，B=x|xa1，若 AB=R，则 a 的取值范围为（ ） A （，2） B （，2 C （2，+） D2，+） 17 （5 分）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的 （ ） A充分条件 B必要条件 C充分必要条件 D既非充分又非必要条件 18 （5 分）记椭圆围成的区域（含边界）为 n（n=1，2，） ，当 点（x，y）分别在 1，2，上时，x+y 的最大值分别是 M1，M2，，则Mn= （ ） A0 B C2 D2 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编分）解答下列各题必须在答题纸相应编 号的规定区域内写出必要的步骤号的规定区域内写出必要的步骤 19 （12 分）如图，正三棱锥 OABC 的底面边长为 2，高为 1，求该三棱锥的 体积及表面积 实用文档 用心整理 千里之行 始于足下 4 20 （14 分）甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求 1x 10） ，每一小时可获得的利润是 100（5x+1）元 （1）求证：生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a（5+）元； （2）要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速 度？并求此最大利润 21 （14 分）已知函数 f（x）=2sin（x） ，其中常数 0 （）令 =1，判断函数的奇偶性，并说明理由 （） 令 =2，将函数 y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移 1 个单 位，得到函数 y=g（x）的图象对任意 aR，求 y=g（x）在区间a，a+10上 的零点个数的所有可能 22 （16 分）已知函数 f（x）=2|x|，无穷数列an满足 an+1=f（an） ，nN* （1）若 a1=0，求 a2，a3，a4； （2）若 a10，且 a1，a2，a3成等比数列，求 a1的值 （3）是否存在 a1，使得 a1，a2，，an，成等差数列？若存在，求出所有这样 的 a1，若不存在，说明理由 实用文档 用心整理 千里之行 始于足下 5 23 （18 分）如图，已知双曲线 C1：，曲线 C2：|y|=|x|+1，P 是平面 内一点，若存在过点 P 的直线与 C1，C2都有公共点，则称 P 为“C1C2型点” （1）在正确证明 C1的左焦点是“C1C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线， 试写出一条这样的直线的方程（不要求验证） ； （2） 设直线 y=kx 与 C2有公共点， 求证|k|1， 进而证明原点不是“C1C2型点”； （3）求证：圆 x2+y2=内的点都不是“C1C2型点” 实用文档 用心整理 千里之行 始于足下 6 2013 年上海市高考数学试卷（文科）年上海市高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 14 题，满分题，满分 56 分） ，考生应在答题纸相应编号的空格分） ，考生应在答题纸相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分分，否则一律得零分 1 （4 分）不等式0 的解为 0 x 【分析】根据两数相除商为负，得到 x 与 2x1 异号，将原不等式化为两个一元 一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集 【解答】解：原不等式化为或， 解得：0 x， 故答案为：0 x 【点评】此题考查了其他不等式的解法，利用了转化的思想，是一道基本试题 2 （4 分）在等差数列an中，若 a1+a2+a3+a4=30，则 a2+a3= 15 【分析】根据给出的数列是等差数列，由等差数列的性质可得 a1+a4=a2+a3，结合 已知条件可求 a2+a3 【解答】解：因为数列an是等差数列，根据等差数列的性质有：a1+a4=a2+a3， 实用文档 用心整理 千里之行 始于足下 7 由 a1+a2+a3+a4=30，所以，2（a2+a3）=30， 则 a2+a3=15 故答案为：15 【点评】本题考查了等差中项概念，在等差数列中，若 m，n，p，q，tN*，且 m+n=p+q=2t，则 am+an=ap+aq=2at，此题是基础题 3 （4 分）设 mR，m2+m2+（m21）i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 m= 2 【分析】根据纯虚数的定义可得 m21=0，m210，由此解得实数 m 的值 【解答】解：复数 z=（m2+m2）+（m1）i 为纯虚数， m2+m2=0，m210，解得 m=2， 故答案为：2 【点评】本题主要考查复数的基本概念，得到 m2+m2=0，m210，是解题 的关键，属于基础题 4 （4 分）已知，，则 y= 1 【分析】利用二阶行列式的运算法则，由写出的式子化简后列出方程，直接求解 y 即可 【解答】解：由已知，， 实用文档 用心整理 千里之行 始于足下 8 所以 x2=0，xy=1 所以 x=2，y=1 故答案为：1 【点评】本题考查了二阶行列式的展开式，考查了方程思想，是基础题 5 （4 分）已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 a2+ab+b2 c2=0，则角 C 的大小是 【分析】利用余弦定理表示出 cosC，将已知等式变形后代入求出 cosC 的值，由 C 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出 C 的度数 【解答】解：a2+ab+b2c2=0，即 a2+b2c2=ab， cosC===， C 为三角形的内角， C= 故答案为： 【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是 解本题的关键 6 （4 分）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的 40%，在一次考试中， 实用文档 用心整理 千里之行 始于足下 9 男，女平均分数分别为 75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 78 【分析】设该年级男生有 x 人，女生有 y 人，这次考试该年级学生平均分数为 a， 根据“平均成绩人数=总成绩”分别求出男生的总成绩和女生的总成绩以及全班 的总成绩，进而根据“男生的总成绩+女生的总成绩=全班的总成绩”列出方程，结 合高一年级男生人数占该年级学生人数的 40%， 即可求出这次考试该年级学生平 均分数 【解答】解：设该班男生有 x 人，女生有 y 人，这次考试该年级学生平均分数为 a根据题意可知： 75x+80y=（x+y）a，且=40% 所以 a=78， 则这次考试该年级学生平均分数为 78 故答案为：78 【点评】本题主要考查了平均数解答此题的关键：设该班男生有 x 人，女生有 y 人，根据平均数的意义即平均成绩、人数和总成绩三者之间的关系列出方程解 决问题 7 （4 分）设常数 aR，若（x2+） 5的二项展开式中 x7项的系数为10，则 a= 2 【分析】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第 r+1 项，令 x 的指数 为 7 求得 x7的系数，列出方程求解即可 实用文档 用心整理 千里之行 始于足下 10 【解答】解：的展开式的通项为 Tr+1=C5rx10 2r（ ）r=C5rx10 3rar 令 103r=7 得 r=1， x7的系数是 aC51 x7的系数是10， aC51=10， 解得 a=2 故答案为：2 【点评】 本题主要考查了二项式系数的性质二项展开式的通项公式是解决二项 展开式的特定项问题的工具 8 （4 分）方程的实数解为 log34 【分析】用换元法，可将方程转化为一个二次方程，然后利用一元二次方程根， 即可得到实数 x 的取值 【解答】解：令 t=3x（t0） 则原方程可化为： （t1）2=9（t0） t1=3，t=4，即 x=log34 可满足条件 即方程的实数解为 log34 实用文档 用心整理 千里之行 始于足下 11 故答案为：log34 【点评】 本题考查的知识点是根的存在性，利用换元法将方程转化为一个一元二 次方程是解答本题的关键，但在换元过程中，要注意对中间元取值范围的判断 9 （4 分）若 cosxcosy+sinxsiny=，则 cos（2x2y）= 【分析】已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出 cos（xy） 的值，所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将 cos（xy）的值代入计 算即可求出值 【解答】解：cosxcosy+sinxsiny=cos（xy）=， cos（2x2y）=cos2（xy）=2cos2（xy）1= 故答案为：。