2020-2021学年高中人教A版数学选修课件-1.4-生活中的优化问题举例.ppt

1.4生活中的优化问题举例,关键能力合作学习,类型一平面几何中的最值问题(数学建模、数学运算) 【典例】1.如图所示,半径为2的M切直线AB于点O,射线OC从OA出发绕着O点顺时针旋转到OB,旋转过程中,OC交M于P,记PMO为x,弓形PnO的面积为S=f(x),那么f(x)的图象是如图中的(,2.将边长为1 m的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块 是梯形,记S= ,则S的最小值是() 3.如图所示,某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用 原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,当砌墙壁所用的材料最省时,堆料场的 长和宽分别为________,思路导引】 建立函数模型,应用导数求最值. 【解析】1.选A.由所给的图示可得,当x时,弓形PnO的面积为S=f(x)=S扇形PnO -SMPO=2x-2sin x,其导数为f(x)=2-2cos x,由余弦函数的性质知,此值越 来越大,即f(x)的图象上升得越来越快,由此可以排除B,C;再由所给图示的对 称性知,弓形PnO的面积先是增加得越来越快,然后是增加得越来越慢,直到增 加率为0,由此可以排除D,2.选A.如图所示,设AD=x m(00,S递增.故当x= 时,S的最小值是,3.要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短,设场地宽为x米,则长为 米, 因此新墙壁总长度L=2x+ (x0), 则L=2- , 令L=0,得x=16. 因为x0,所以x=16. 当x16时,L0,L递增,当0 x16时,L0,L递减, 所以当x=16时,Lmin=64,此时堆料场的长为32米. 答案:32米,16米,解题策略】 1.利用导数解决优化问题的基本思路 2.关于平面图形中的最值问题 平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形,主要研究与面积相关的最值问题,一般将面积用变量表示出来后求导数,求极值,从而求最值,跟踪训练】 如图是一块地皮OAB,其中OA,AB是直线段,曲线段OB是抛物线的一部分,且点O 是该抛物线的顶点,OA所在的直线是该抛物线的对称轴.经测量,OA=2 km,AB= km,OAB= .现要从这块地皮中划一个矩形CDEF来建造草坪,其中点C在曲 线段OB上,点D,E在直线段OA上,点F在直线段AB上,设CD=a km,矩形草坪CDEF的 面积为f km2,1)求f ,并写出定义域. (2)当a为多少时,矩形草坪CDEF的面积最大? 【解析】(1)以O为原点,OA边所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系, 过点B作BGOA于点G,在直角ABG中,AB= ,OAB= ,所以AG=BG=1,又因为 OA=2,所以OG=1,则B ,设抛物线OCB的标准方程为y2=2px,代入点B的坐标,得 p= ,所以抛物线的方程为y2=x. 因为CD=a,所以AE=EF=a,则DE=2-a-a2, 所以f = 定义域为,2)f =-3a2-2a+2,令f =0,得a= .当00,f 在 上单调递增;当 a1时,f 0,f 在 上单调递减. 所以当a= 时,f 取得极大值,也是最大值,类型二立体几何中的最值问题(数学运算、直观想象) 【典例】请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片, 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D 四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上,是 被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm,1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值? (2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的 高与底面边长的比值,解析】设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm), 由已知得a= x,h= = (30-x),0 x30. (1)因为S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800, 所以当x=15时,S取得最大值,2)根据题意有V= (60-2x)=2 x2(30-x)(00;当x 时V0,所以当x=20时取得极大值,也 是最大值,此时包装盒的高与底面边长的比值为 即包装盒 的高与底面边长的比值为,解题策略】 关于立体几何中的最值问题 (1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积,在此基础上解决与实际问题相关的问题. (2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式,如果已知图形是由简单几何体组合而成,则要分析其组合关系,将图形进行拆分或组合,以便简化求值过程,跟踪训练】 如图所示的某种容器的体积为90 cm3,它是由圆锥和圆柱两部分组合而成的, 圆柱与圆锥的底面圆半径都为r cm.圆锥的高为h1 cm,母线与底面所成的角为 45;圆柱的高为h2 cm.已知圆柱底面造价为2a元/cm2,圆柱侧面造价为a元 /cm2,圆锥侧面造价为 a元/cm2,1)将圆柱的高h2表示为底面圆半径r的函数,并求出定义域. (2)当容器造价最低时圆柱的底面圆半径r为多少? 【解析】(1)因为圆锥的母线与底面所成的角为45,所以h1=r,圆锥的体积为 V1= r2h1= r3,圆柱的体积为V2=r2h2.因为V1+V2=90,所以 V2=r2h2=90- r3,所以 因为V1= r390,所以 r3 .因此0r3 . 所以h2= ,定义域为r|0r3,2)圆锥的侧面积S1=r r= r2, 圆柱的侧面积S2=2rh2,底面积S3=r2. 容器总造价为y= aS1+aS2+2aS3=2r2a+2rh2a+2r2a=2a(r2+rh2+r2) 令f(r)=r2+ , 则f(r)=2r- .令f(r)=0,得r=3,当00,f(r)在(3,3 )上为单调递增的.因此,当且仅当r=3时,f(r)有最小值,即y有最小值,为90a元. 所以总造价最低时,圆柱的底面圆半径为3 cm,类型三实际生活中的最值问题(数学建模) 角度1用料最省、费用最少问题 【典例】1.某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子,其容积为48 m3,高为3 m,如果箱底每平方米的造价为15元,箱壁每平方米的造价为12元,则箱子的最低总造价为() A.900元B.840元C.818元D.816元,2.(2020苏州高二检测)某公司租地建仓库,每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库,y1和y2分别为2万元和8万元.那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站________千米处. 【思路导引】结合导数进行求解,解析】1.选D.设箱底一边的长度为x m,箱子的总造价为l元,根据题意,得 l=15 +12 =240+72 (x0), l=72 ,令l=0解得x=4或x=-4(舍去), 当04时,l0. 故当x=4时,l取得最小值为816,2.设仓库与车站相距x千米,依题意可设每月土地占用费y1= ,每月库存货物 的运费y2=k2x,其中x是仓库到车站的距离,k1,k2是比例系数,于是由2= 得k1=20;由8=10k2得k2= .所以两项费用之和为y= (x0), y=- ,令y=0,得x=5或x=-5(舍去,当05时,y0.所以当x=5时,y取得极小值,也是最小值. 所以当仓库建在离车站5千米处时,两项费用之和最小. 答案:5,变式探究】 若本例1箱壁每平方米的造价为8元, 则箱子的最低总造价为多少? 【解析】设箱底一边的长度为x m,箱子的总造价为l元,根据题意,得l=15 +82 =240+48 ,l=48 ,令l=0解得x=4或x=-4(舍去), 当04时,l0.故当x=4时,l取得最小值为624,角度2利润最大问题 【典例】树人中学2019级高一年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动,决定 对某商场销售的商品A进行市场销售量调研,通过对该商品一个阶段的调研得 知,发现该商品每日的销售量g(x)(单位:百件)与销售价格x(元/件)近似满足 关系式g(x)= +2(x-5)2,其中2x5,a为常数.已知销售价格为3元/件时,每 日可售出该商品10百件,1)求函数g(x)的解析式. (2)若该商品A的成本为2元/件,根据调研结果请你试确定该商品销售价格的值,使该商场每日销售该商品所获得的利润(单位:百元)最大,思路导引】(1)由题意将(3,10)代入函数解析式,建立方程,即可求出g(x)的解析式. (2)商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量销售该商品的单利润,可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数,再用求导数的方法讨论函数的单调性,得出函数的极大值点,从而得出最大值对应的x值,解析】(1)由题意,10= +2(3-5)2,解得a=2,故g(x)= +2(x-5)2(2x5). (2)商场每日销售该商品所获得的利润为y=h(x)=(x-2)g(x)=2+2(x-5)2(x-2) (2x5),y=4(x-5)(x-2)+ 2(x-5)2=6(x-3)(x-5).列表得x,y,y的变化情况: 由表可得,x=3是函数h(x)在区间(2,5)内的极大值点,也是最大值点,解题策略】 解决优化问题时应注意的问题 (1)列函数解析式时,注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域. (2)一般地,通过函数的极值来求得函数的最值.如果函数在给定区间内只有一个极值点,则根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可,不必再与端点处的函数值进行比较,题组训练】 1.某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植量是8万斤,每 种植一斤藕,成本增加0.5元.如果销售额函数是f(x)=- x3+ ax2+ x (x是 莲藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元,a是常数),若种植2万斤,利润是 2.5万元,则要使利润最大,每年需种植莲藕() A.6万斤B.8万斤C.3万斤D.5万斤,解析】选A.由题意,设销售的利润为g(x), 得g(x)=- x3+ ax2+ x-1- x, 即g(x)=- x3+ ax2-1, 当x=2时,g(2)=-1+ a-1= ,解得a=2, 故g(x)=- x3+ x2-1,则g(x)=- x2+ x =- x(x-6), 可得函数g(x)在(0,6)上单调递增,在(6,8)上单调递减,所以x=6时,利润最大,2.做一个圆柱形锅炉,容积为V,两个底面的材料每单位面积的价格为a元,侧面的 材料每单位面积的价格为b元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高的比为() A. B. C. D. 【解析】选A.设锅炉的高h与底面直径d的比为k= ,由 可得 设造价为y,则 则 令y=0,解得k= ,可得此时y取得最小值.故当造价最低时锅炉的高与底面直径 的比为,3.(2020江苏高考)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如 图所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO为铅垂线(O在AB上),经测 量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO的距离a(米)之间满足关 系式h1= a2;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO的距离b(米) 之间满足关系式h2=- b3+6b.已知点B到OO的距离为40米,1)求桥AB的长度; (2)计划在谷底两侧建造平行于OO的桥墩CD和EF.且CE为80米,其中C,E在AB 上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元),桥墩CD每米造价 k(万元)(k0), 问OE为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低,解析】(1)过A,B分别作MN的垂线,垂足为A,B, 则AA=BB=- 403+640=160(米). 令 a2=160,得a=80,所以AO=80,AB=AO+BO=80+40=120(米,2)设OE=x,则CO=80-x,由 ,得00,所以令y=0,得x=0或x=20, 所以当00,y单调递增.所以,当x=20时,y取最小值,即当OE为20米 时,造价最低,课堂检测素养达标,1.有一长为16 m的篱笆,要围成。