山东省沂水县高考数学一轮复习函数系列之导数的应用——单调性与极值学案.doc

1单调性与极值单调性与极值1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用；2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用 3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数 的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； 4.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过 三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、 最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性 【重点难点】 ①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；③利用导数求函数的最值；④ 利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合 的问题；⑦导数与解析几何相综合的问题 【高考要求】B 级 【基础过关】1 1．． 函数的单调性⑴ 函数 y＝)(xf在某个区间内可导，若)(xf ＞0，则)(xf为 ；若)(xf ＜0，则)(xf为 .（逆命题不成立）(2) 如果在某个区间内恒有0)( xf，则)(xf . 注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ① 确定函数)(xf的 ； ② 求)(xf ，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； ③ 把函数)(xf的间断点（即)(xf的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺 序排列起来，然后用这些点把函数)(xf的定义区间分成若干个小区间； ④ 确定)(xf 在各小开区间内的 ，根据)(xf 的符号判定函数)(xf在各个相应小开 区间内的增减性. 2 2．．可导函数的极值 ⑴ 极值的概念设函数)(xf在点0x附近有定义，且对0x附近的所有点都有 （或 ） ，则称)(0xf为函数的一个极大（小）值．称0x为极大（小）值点.⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数)(xf ； ② 求方程)(xf ＝0 的 ； ③ 检验)(xf 在方程)(xf ＝0 的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负， 那么函数 y＝)(xf在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么 函数 y＝)(xf在这个根处取得 . 3 3．．函数的最大值与最小值：⑴ 设 y＝)(xf是定义在区间[a ,b ]上的函数，y＝)(xf在(a ,b )内有导数，则函数 y＝)(xf在[a ,b ]上 有最大值与最小值；但在开区间内 有最大值与最小值． (2) 求最值可分两步进行：2① 求 y＝)(xf在(a ,b )内的 值； ② 将 y＝)(xf的各 值与)(af、)(bf比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个 为最小值. (3) 若函数 y＝)(xf在[a ,b ]上单调递增，则)(af为函数的 ，)(bf为函数的 ；若函数 y＝)(xf在[a ,b ]上单调递减，则)(af为函数的 ，)(bf为函数的 .【典型例题】 例例 1.1. 已知 f(x)=ex-ax-1. （1）求 f(x)的单调增区间； （2）若 f(x）在定义域 R R 内单调递增，求 a 的取值范围； （3）是否存在 a,使 f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在， 求出 a 的值；若不存在，说明理由. 解：解：)(xf =ex-a. （1）若 a≤0，)(xf =ex-a≥0 恒成立，即 f(x)在 R R 上递增. 若 a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞). （2）∵f（x）在 R R 内单调递增，∴)(xf ≥0 在 R R 上恒成立. ∴ex-a≥0，即 a≤ex在 R R 上恒成立. ∴a≤（ex）min，又∵ex>0，∴a≤0. （3）方法一方法一 由题意知 ex-a≤0 在（-∞，0］上恒成立. ∴a≥ex在（-∞，0］上恒成立.∵ex在（-∞，0］上为增函数. ∴x=0 时，ex最大为 1.∴a≥1.同理可知 ex-a≥0 在［0，+∞）上恒成立. ∴a≤ex在［0，+∞）上恒成立.∴a≤1，∴a=1. 方法二方法二 由题意知，x=0 为 f(x)的极小值点.∴)0(  f=0,即 e0-a=0,∴a=1. 变式训练变式训练 1.1. 已知函数 f(x)=x3-ax-1. （1）若 f(x)在实数集 R R 上单调递增，求实数 a 的取值范围； （2）是否存在实数 a,使 f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出 a 的取值范围；若不 存在，说明理由； （3）证明：f(x)=x3-ax-1 的图象不可能总在直线 y=a 的上方. （1）解解 由已知)(xf =3x2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数， ∴)(xf =3x2-a≥0 在（-∞,+∞）上恒成立，即 a≤3x2对 x∈R R 恒成立. ∵3x2≥0,∴只需 a≤0,又 a=0 时，)(xf =3x2≥0, 故 f(x)=x3-1 在 R R 上是增函数，则 a≤0. （2）解解 由)(xf =3x2-a≤0 在(-1,1)上恒成立，得 a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立. ∵-10,即 e-ax(-ax2+2x)>0,得 02 时,f(x）在（1，2）上是减函数, ∴f（x）max=f（1）=e-a. ②当 1≤a2≤2,即 1≤a≤2 时， f(x)在  a2, 1上是增函数，在 2 ,2 a上是减函数， ∴f(x)max=f  a2=4a-2e-2. ③当a2>2 时，即 02 时，f(x)的最大值为e-a. 4变式训练变式训练 3.3. 设函数 f(x)=-x(x-a)2(x∈R R),其中 a∈R R. （1）当 a=1 时，求曲线 y=f(x)在点（2，f(2))处的切线方程； （2）当 a≠0 时，求函数 f(x)的极大值和极小值. 解解：（1）当 a=1 时，f(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-x, f(2)=-2,)(xf =-3x2+4x-1, )2(f-12+8-1=-5, ∴当 a=1 时，曲线 y=f(x)在点（2,f(2))处的切线方程为 5x+y-8=0. （2）f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x, )(xf =-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a), 令)(xf =0,解得 x=3a或 x=a. 由于 a≠0，以下分两种情况讨论. ①若 a>0，当 x 变化时，)(xf 的正负如下表： x(-∞,3a)3a(3a,a)a(a,+∞))(xf -0+0-f(x)↘3 274a↗0↘因此，函数 f(x)在 x=3a处取得极小值 f（3a） ， 且 f（3a）=-;2743a 函数 f(x)在 x=a 处取得极大值 f(a),且 f(a)=0. ②若 a0,∴)(xP=0 时,x=12， ∴当 00,当 x>12 时，)(xP0()( ' xf0 是f（x）在（a，b）内单调递增的____ ____条件. 5. 函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数 A.（2π,2π3） B.（π,2π） C.（2π3, 2π5） D.（2π,3π）6.已知a>0，函数f（x）=x3－ax在［1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是 67. 已知函数f（x）=x4－4x3+10x2，则方程f（x）=0 在区间［1，2］上的根有 8. 若函数y=－34x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是________.9．函数f（x）＝x＋2cosx在区间  2, 0上的最大值为_____;在区间[0，2π]上最大值为_____． 10．已知xR，奇函数32( )f xxaxbxc在[1,)上单调，则字母, ,a b c应满足的条件是 。

11.设f（x）=x3－22x－2x+5.（1）求f（x）的单调区间； （2）当x∈［1，2］时，f（x）

令0V'）（x，解得2x（不合题意，舍去） ，2x， 当21 x时，0V'）（x，）（xV为增函数； 当42 x时，0V'）（x，）（xV为减函数 ∴当2x时，）（xV最大答：当 OO1为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为3163m。