
教材中有关距离的问题.doc
6页欢迎光临 《中学数学信息网》 zxsx127@ 《中学数学信息网》系列资料 WWW. Z X S X .COM 版权所有@ 《中学数学信息网》选修 2-1 教材中有关距离的问题(杨志明)题 1(第 111 页练习第 2 题)如图,已知两条异面直线所成的角为 θ ,在直线 a、b 上分别取E、F ,已知 A’E=m,AF=n,EF=l,求公垂线 A A′的长 d.解: ,FA)()(2 FE.AFAFE∵ ,,=π— θ (或 θ ) ,,∴ El 222,cosmdn当 E,F 在公垂线同一侧时取负号当 d 等于 0 是即为“余弦定理”∴ .22l变式 1.已知:两条异面直线 a、 b 所成的角为 θ,它们的公垂线段 AA1 的长度为 d,在直线 a、b 上分别取点 E、F,设A1E=m,AF=n,求证:EF= (92(26))d2+ m2+ n2±2mncosθ证明:设经过 b 与 a 平行的平面为 α,经过 a 和 AA1 的平面为β,α∩β=c ,则 c∥a,因而 b,c 所成的角等于 θ,且 AA1⊥c,又∵ AA1⊥bAA1⊥α,由两个平面垂直的性质定理有EG⊥α.连结 FG,则 EG⊥FG,在 Rt△EFG 中,EF 2=EG 2+FG 2∵AG=m,∴ 在△ AFG 中, FG2=m 2+n 2-2mncosθ∵EG=d,∴ EF2=d 2+m 2+n 2-2mncosθ如果点 F(或 E)在点 A(或 A1)的另一侧,则EF2=d 2+ m2+n 2+2mncosθ因此 EF= .d2+ m2+ n2±2mncosθ变式 2:(P92 练习第 3 题)如图,线段 AB,BD 在平面内,BD⊥AB, 线段 AC⊥α,且 AB=a,BD=b,AC=c,求 C,D 间的距离 ..2CDab变式 3: (P106 例 2):如图 3,甲站在水库底面上的点A 处,乙站在水坝斜面上的点 B 处。
从 A,B 到直线 (库底与水坝的交线)的距离 AC 和 BD 分别为 和 ,CD 的长为 , AB 的长为 求库底与水坝abcd所成二面角的余弦值 解:如图, .aDbCcd底BCurru22()dABr2( )ADBurru2acb αβ b aA1A EFd mn G欢迎光临 《中学数学信息网》 zxsx127@ 《中学数学信息网》系列资料 WWW. Z X S X .COM 版权所有@ 《中学数学信息网》DCBA22acbCADBur于是,得 22abcd设向量 与 的夹角为 , 就是库底与水坝所成的二面角r因此, os.库底与水坝所成二面角的余弦值为22.cab变式 4: (P107 练习第 2 题)已知在一个 的二面角的棱长有两点 , 分别是在60o,,这个二面角的两个平面内,且垂直于线段 ,又知AB,求 的长 奎 屯王 新 敞新 疆4,6,8ABcmCBDcmC解:由已知 ,A,,102oour∴ 2|()rur22|||68cos120Dur,64868.|17()CDcmr变式 5:(P113 习题 3.2A 组第 9 题)正方体 的棱长为 1,点 M 是棱 的中1ABC1A点,点 O 是 的中点,求证:OM 是异面直线 与 的公垂线,并求 OM 的长.1B1解: 以 A 为原点建立坐标系,得下列坐标: , .1(0)(,0)(,)2111(0,)(,0)(,)2D因为 ,所以 .1MBDururOMAB.||4O题 2 (P119 复习参考题 B 组第 3 题) 如图,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AB垂直于 AD 和 AC,侧棱 SA⊥ 底面 ABCD,且 SA=AB=BC=1,AD=0.5.(1)四棱锥 S-ABCD 的体积;(2)求面 SCD 与面 SAB 所成二面角的大小 . 解:(1)直角梯形 ABCD 的面积为。
10.53()24SCAD底∴四棱锥 S-ABCD 的体积为.334V底(2)建立如图空间直角坐标系 Axyz,则,1(0,)(,0)(,)01)2BCS.(2ADSDururr∵SA⊥平面 ABCD,AD⊥AB, ∴向量 是面 SAB 的一个法向量 .Au设平面 SCD 的一个法向量为 ,由)nxyzS CA DB欢迎光临 《中学数学信息网》 zxsx127@ 《中学数学信息网》系列资料 WWW. Z X S X .COM 版权所有@ 《中学数学信息网》,nSCDru0,r0,2,12xyzxzy令 ,则 .1z(2,)r.0()16cos, 3||2Annur∴面 SCD 与面 SAB 所成二面角的大小 .cosar变式 1:如图,在底面是直角梯形的四棱锥 S-ABCD 中, ,90ABCoSABCD底1,.2SABCAD(1)求证:面 SAB⊥面 SBC;(2)E 点是 SC 的中点,求证:DE⊥面 SBC.变式 2:如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB= a,AD =3 a,且∠ADC=arcsin ,又 PA⊥平面55ABCD, PA=a ,求:(94 上海 )⑴二面角 P-CD-A 的大小(用反三角函数表示);⑵点 A 到平面 PBC 的距离 .解:如图,在平面 ABCD 内,过点 A 作 AE⊥CD,垂足为 E,连结 PE,有 PA⊥平面 ABCD,由三垂线定理知 PE⊥CD,故∠PEA 是二面角 P-CD-A 的平面角在 Rt△DAE 中,AD=3a, ∠ADC=arcsin55则 AE=ADsin ∠ADC= a355在 Rt△PAE 中,tan∠PEA=PAAE= 53故二面角 P-CD-A 的大小为 arctan53⑵在平面 PAB 中,过点 A 作 AH⊥PB,垂足为 H,有 PA⊥平面ABCD, AB⊥BC ,PA⊥BC,则有 BC⊥平面 PAB.又 AH∩平面 PAB,因此 BC⊥AH.又 AH⊥PB,故 AH⊥平面 PBC.因此线段 AH 的长即为点 A 到平面 PBC 的距离.在等腰直角△PAB 中,AH = a,即点 A 到平面 PBC 的距离为 a.22 22题 3(P114 习题 3.2B 组第 3 题 )如图,在棱长为 的正方体 中,点 E,F 分别是a''OABC棱 AB,BC 上的动点,且 AE=BF.(1)求证 ;''FCE(2)当三棱锥 的体积取得最大时,求二面角 的正切值.'B'EF解:(1)以 C 为坐标原点 ,以 CO、CB、 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 C-xyz,设'C,则 ,AEm ' '(0)(,0),(,)(0,)aFamaPAB CDPAB CDEH欢迎光临 《中学数学信息网》 zxsx127@ 《中学数学信息网》系列资料 WWW. Z X S X .COM 版权所有@ 《中学数学信息网》,' '(,),(,)AFamCEaurur,''220∴ ,即 .''''AF(2) ' 211[()]()36BEFVma当且仅当 时,即 E,F 分别为 AB,BC 中点时, 最大.2am'BEFV取 EF 的中点 G,连结 BG, ,则 ,BG⊥EF, ⊥EF,即 是二面角'BG3(0)4'G'B的平面角.'BEF又 ,'(,0)()4aaGurur∴ .'' '1cos3||BGr即 .'tan2∴二面角 的正切值是 .'EF2题 4:(P114 习题 3.2B 组第 2 题) 在如图的实验装置中,正方形框架的边长都是 1, 且平面 ABCD 与平面互相垂直.活动弹子 M, N 分别在正方形的对角线 AC 和 BF 上移动,且 CM和 BN 若的长度相等,记 CM= BN=a(0<a< ).2(1)求 MN 的长;(2)当 a 为何值时,MN 的长最小;(3)当 MN 长最小时,求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角α 的余弦值。
解:以 B 为坐标原点,以 BA、BE 、BC 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系,则 ,22(0)(10),(,),(,0)AMaNa(1)∵ ,,1Nur∴ .22||()1aa(2) ∵ ,2||1()Mur∴当 时, .2amin||2Nr(3)由(2)知当 M, N 分别为 AC、BF 中点时 MN 的长最小,则.11(,0)(,0)取 MN 的中点 G,连结 AG, BG,则 .1(,)24G∵AM=AN,BM=BN, G 为 MN 中点,∴AG⊥MN,BG⊥MN,即∠AGB 即为二面角 α 的平面角.A FB EDCMN欢迎光临 《中学数学信息网》 zxsx127@ 《中学数学信息网》系列资料 WWW. Z X S X .COM 版权所有@ 《中学数学信息网》∵ ,11(,),(,)2424GABurur.cos3||r所求二面角 α 的余弦值为 .1变式:如图,正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1,而且平面ABCD、ABEF 互相垂直.点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动,若CM=BN=a(0<a< )(2002 年全国(18)、天津(18 乙))21.求 MN 的长;2.当 a 为何值时,MN 的长最小;3.当 MN 长最小时,求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角 α 的大小.本小题主要考查线面关系、二面角和函数极值等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.解:(1)作 MP∥AB 交 BC 于点 P,NQ∥AB 交 BE 于点 Q,连接 PQ,依题意可得 MP∥NQ,且 MP=NQ ,即 MNQP 是平行四边形.∴MN=PQ,由已知,CM=BN=a, CB=AB=BE=1,AC=BF= .2∴ ,即 CP=BQ = .CP1= a2,BQ1= a2 a2MN=PQ=(1- CP)2+ BQ2= (1- \f(a,\r(2)))2+ (\f(a,\r(2)))2= (a- \f(\r(2),2))2+ 12(0<a< )2∴MN= (0<a< )(a- \f(\r(2),2))2+ 12 2(2)由(1)MN=(a- \f(\r(2),2))2+ 12所以,当 a= 时,MN min=22 22即当 M、N 分别移动到 AC、BF 的中点时,MN 的长度最小,最小值为22(3)取 MN 的中点 G,连接 AG、BG,∵AM=AN,BM=BN,∴AG⊥MN,BG⊥MN,∴∠ AGB 即为二面角 α 的平面角。
又 AG=BG = ,所以由余弦定理有64cosα= .故所求二面角 α=arccos(- ).(\f(\r(6),4))2+ (\f(\r(6),4))2- 12· 64· 64 = -13 13题 5:(P114 习题 3.2B 组第 1 题) 如图,四面体 DABC 中,AB,BC,BD 两两垂直,且 AB=BC=2,点E 是 AC 中点;异面直线 AD 与 BE 所成角为 ,且 ,求四面体 DABC 的体积.10cos解:以 B 为坐标原点,以 BC、BA、BD 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 Bxyz,则 A 。












