数学归纳法与_道德经_张奠宙.pdf

第 1 页 共 2 页 文汇报/2016 年/11 月/22 日/第 012 版 笔会 数学归纳法与《道德经》数学归纳法与《道德经》 张奠宙 数学，犹如雨后初霁的天空，一尘不染，阳光万里，然而未免稍觉单调人文则如漫天云彩， 白云苍狗，丰富多变，又会令人眼花缭乱若得二者相配，蓝天白云，何等赏心悦目？那么，设 想数学与人文之间如能获得沟通，又将会出现怎样的深邃意境呢？ 现在，纯西方的“数学归纳法”真的碰上了《道德经》以及《愚公移山》的东方经典故事 如今高中课程中的数学归纳法，目标是要证明对所有的自然数 n，命题 P(n)都成立，一个也 不能少教学中，则常以多米诺骨牌作喻意思是，推倒第一块，接着便会推倒第二块、第三块， 直至成千上万块然而，多米诺骨牌无论制作得怎样精致，总有结束的时候能够推倒的，毕竟 只是有限块可是数学归纳法所要面对的是自然数全体，要求从有限跨入无限的大门如此看来， 多米诺骨牌对数学归纳法来说，只是形似，没有神似，差得很远呐 于是，中国经典《道德经》登场了 “道生一，一生二，二生三，三生万物” ，这十三个汉字， 尽显无限本色原来，所谓“万物”泛指的“无限” ，乃是不断“生”出来的啊。

更进一步， “愚 公移山”故事里的一段妙语构造了一个“生生不息”的无限思维模型愚公说： “虽我之死，有子存焉；子又生孙，孙又生子；子又有子，子又有孙；子子孙孙无穷匮也， 而山不加增，何苦而不平？” 这里，愚公高调宣布了用“无限”战胜“有限”的胜利他以自己拥有的世代永续的无限家 族，战胜了“山不加增”的有限山体我们先不去追问愚公为何能够保证自己的各代子孙都能生 育的“前提条件” 值得我们关注的结果是，愚公家族已经成为“一代接着一代、没有‘穷匮’ 、 没有中断、没完没了、无穷无尽”的一个无限世代序列这是实实在在的无限如按世代的顺序 记下来就是自然数 1、2、3⋯⋯全体换句话说，愚公已经用“子孙都能生育”换来了“世代永 续” 、 “无穷匮”的无限家族，终于越过有限、 “跨入了”无限的大门 数学归纳法在古希腊数学中已有萌芽但真正作为一种重要的数学方法，是 19 世纪皮亚诺 提出“自然数公理”前后的事情如今，在东方的中国，遇上了《道德经》和《列子·汤问》中 的愚公移山故事，二者间有怎样的关联呢 既然愚公家族的序列可以做到 “无穷匮” ， 那么用于任何命题列 P (n)行不行呢？这就要看 P (n) 能不能具有愚公家族序列的特性了。

如前所说，愚公模型之所以能达到无限，是因为神话人物愚 公自动地获得了他的子孙世世代代必定都能够 “生” 的特殊保证 至于 P (n)的每一代能不能 “生” ？ 那就需要检验了事实上，数学归纳法本身正是在做这样的检验! 首先，数学归纳法的第一步是要验证 n=1 时 P (1)成立这相当于 P (1)的正确性必须像愚公 自己一样要能“生”出来，即有子存焉其次，要验证已经具有正确性的 P (n)是否如愚公的每一 代子孙那样都能“生” ，即对任意的 n，由 P (n)的正确性能生出 P(n+1)是正确性来一旦这两步 都成立了， P (n)的正确性序列能够一代代地 “生” 出下一代了， 就可以像愚公家族一样地达到 “无 穷匮” ，无一例外地全部都成立 从《道德经》的三生万物，愚公的生生不息，到“野火烧不尽，春风吹又生” ，东方经典的 无限观一直和“生”联在一起一个“生”字，终于使得数学归纳法不再神秘记得在中学课堂 上， 学生们对那两步检验的来历往往不知所云 如果读了愚公移山的故事， 大概就会 “会心一笑” ， 觉得那不过是在进行能不能“生”的检验而已! 第 2 页 共 2 页 中国文化经典中，能正面阐述西方数学的并不多。

多年来流传“一尺之棰，日取其半，万世 不竭”可以接轨于西方的“极限”概念，其实也只是在意境上相通不过，这样的例子有心去找， 还是会有的近日读韩愈的名句： “草色遥看近却无” ，于是联想到拓扑学的“整体与局部” 试 想，一个球面，和一个环面(自行车内胎)远看确实是不一样的两种曲面结构球面切一刀，必成 两片；而环面剪一刀可以仍是一个整体(打开变成圆柱面)这说明二者的曲面结构确实不同但 这种整体性的拓扑性质，必需要远看，近看则无设或有一只近视的蚂蚁趴在球面和环面上，它 分别看到的却都是差不多的一小块平坦的圆片而已这就是说，那两个不同的结构“近看却无” 了 “草色”与拓扑结构，都归于“远看可以，近看则无”的意境 这种数学与人文的沟通，初接触时会觉得有些出乎意料，但是细细想想，却又在情理之中了 现在提倡“文理不分” ，真希望“文科生” “理科生” ，大家都来关注这样的沟通。