《7.1 数的概念》复习教案与课后作业.docx

《7.1　复数的概念》复习教案7.1.1　数系的扩充和复数的概念学 习 目 标核 心 素 养1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程．(重点)2．理解复数的概念、表示法及相关概念．(重点)3．掌握复数的分类及复数相等的充要条件．(重点、易混点)1.通过学习数系的扩充，培养逻辑推理的素养．2．借助复数的概念，提升数学抽象的素养.【课前预习】1．复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做复数集．2．复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.3．复数的分类z＝a＋bi(a，b∈R)思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？[提示] 1．复数i－2的虚部是(　　)A．i　　　　　　　　　 B．－2C．1 D．2C　[i－2＝－2＋i，因此虚部是1.]2．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为(　　)A．x＝1，y＝－1 B．x＝0，y＝－1C．x＝1，y＝0 D．x＝0，y＝0A　[∵(x＋y)i＝x－1，∴∴x＝1，y＝－1.]3．在下列数中，属于虚数的是 ，属于纯虚数的是 ．0,1＋i，πi，＋2i，－i，i.1＋i，πi，＋2i，－i，i　πi，i　[根据虚数的概念知：1＋i，πi，＋2i，－i，i都是虚数；由纯虚数的概念知：πi，i都是纯虚数．]【合作探究】复数的概念【例1】　给出下列说法：①复数2＋3i的虚部是3i；②形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数；③若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数；④若两个复数能够比较大小，则它们都是实数．其中错误说法的个数是(　　)A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4C　[复数2＋3i的虚部是3，①错；形如a＋bi(b∈R)的数不一定是虚数，②错；只有当a∈R，a＋3≠0时，(a＋3)i是纯虚数，③错；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，故④正确，所以有3个错误．]判断复数概念方面的命题真假的注意点(1)正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念，注意它们之间的区别与联系；(2)注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同；(3)注意通过列举反例来说明一些命题的真假．1．下列说法中正确的是(　　)A．复数由实数、虚数、纯虚数构成B．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有x≠0C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数D．若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋iC　[选项A错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数；选项B错，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有y≠0，但可以x＝0；选项C正确，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是纯虚数，必有x＝0，y≠0，因此只要x≠0，复数z一定不是纯虚数；选项D错，当a，b∈R时，a＋i与b＋i都是虚数，不能比较大小．]复数的分类【例2】　实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解]　(1)当x满足即x＝5时，z是实数．(2)当x满足即x≠－3且x≠5时，z是虚数．(3)当x满足即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化形式．(2)注意分清复数分类中的条件设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则①z为实数⇔b＝0，②z为虚数⇔b≠0，③z为纯虚数⇔a＝0，b≠0，④z＝0⇔a＝0，且b＝0.2．已知m∈R，复数z＝lg m＋(m2－1)i，当m为何值时，(1)z为实数；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数．[解]　(1)当z为实数时，m需满足解得m＝1.(2)当z为虚数时，m需满足解得m＞0，且m≠1.(3)当z为纯虚数时，m需满足无解，即不存在m使z为纯虚数．复数相等的充要条件[探究问题]1．由3>2能否推出3＋i>2＋i？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？[提示]　由3>2不能推出3＋i>2＋i，当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．2．若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足什么条件？[提示]　若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足a>0，且b＝0. 【例3】　(1)若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于 ．(2)已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，求实数m的值．[思路探究]　(1)等价转化为虚部为零，且实部小于零．(2)根据复数相等的充要条件求解．(1)－3　[∵z<0，∴∴m＝－3.](2)[解]　设a是原方程的实根，则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0，所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，所以a＝－且2－＋3m＝0，所以m＝.1．若x＝1是方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0的实数根，求复数m的值．[解]　由题意可知，1＋1－2i ＋3m－i＝0，即m＝－＋i.2．若x2＋(1－2i)x＋(3m－i)>0，求实数m的取值范围．[解]　由题意可知，x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝ x2＋x＋3m－(2x＋1)i>0, 故解得所以实数m的取值范围为m>.复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．提醒：若两个复数能比较大小，则这两个复数必为实数．1．a，b∈R，a＋bi＝0⇔a＝b＝0；a＋bi＞0⇔2．两个虚数不能比较大小．3．z是复数，z2≥0不一定成立，如i2＝－1＜0.4．复数问题实数化是解决复数问题的最基本、最重要的思想方法．【课堂达标练习】1．判断正误(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　　)(2)复数i的实部不存在，虚部为0.(　　)(3)bi是纯虚数．(　　)(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(　　)[答案]　(1)　(2)　(3)　(4)√2．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是(　　)A.，1　　　　　　　　 B.，5C．，5 D．，1C　[令得a＝，b＝5.]3．已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x，y的值分别为 ．或　[∵x2－y2＋2xyi＝2i，∴解得或]4．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)是0？[解]　由m2＋5m＋6＝0得，m＝－2或m＝－3，由m2－2m－15＝0得m＝5或m＝－3.(1)当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，∴m＝5或－3.(2)当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数，∴m≠5且m≠－3.(3)当时，复数z是纯虚数，∴m＝－2.(4)当时，复数z是0，∴m＝－3.《7.1.1数系的扩充和复数的概念》课后作业 [合格基础练]一、选择题1．下列命题：(1)若a＋bi＝0，则a＝b＝0；(2)x＋yi＝2＋2i⇔x＝y＝2；(3)若y∈R，且(y2－1)－(y－1)i＝0，则y＝1.其中正确命题的个数为(　　)A．0个　　　　　　　　　 B．1个C．2个 D．3个B　[(1)，(2)所犯的错误是一样的，即a，x不一定是复数的实部，b，y不一定是复数的虚部；(3)正确，因为y∈R，所以y2－1，－(y－1)是实数，所以由复数相等的条件得解得y＝1.]2．若复数z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正实数，则实数m的值为 (　　)A．－2 B．3C．－3 D．3B　[由题知解得m＝3，故选B.]3．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是(　　)A．3－3i B．3＋iC．－＋i D.＋iA　[3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A.]4．4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为(　　)A．1 B．1或－4C．－4 D．0或－4C　[由题意知解得a＝－4.]5．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件B　[因为a，b∈R，“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数”．“复数a＋bi是纯虚数”，则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件．]二、填空题6．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝ .－2　[∴m＝－2.]7．已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝ ，n＝ .2　2　[由复数相等的充要条件有⇒]8．下列命题：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝1；③两个虚数不能比较大小．其中正确命题的序号是 ．③　[当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝1，故②错．]三、解答题9．若x，y∈R，且(x－1)＋yi＞2x，求x，y的取值范围．[解]　∵(x－1)＋yi＞2x，∴y＝0且x－1＞2x，∴x＜－1，∴x，y的取值范围分别为x＜－1，y＝0.10．实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．[解]　(1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，m－1≠0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.[等级过关练]1．下列命题正确的个数是(　　)①1＋i2＝0；②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；④两个虚数不能比较大小．A．1　　　B．2　　　C．0　　　D．3B　[对于①，因为i2＝－1，所以1＋i2＝0，故①正确．对于②，两个虚数不能比较大小，故②错．对于③，当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，故③错．④正确．]2．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z＝(　　)A．3＋i B．3－iC．－3－i D．－3＋iB　[由题意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0.所以解得所以z＝3－i.]3．如果(。