【2020】【全程复习方略】-版高考数学 8.6抛物线课时提升作业 理 北师大版（通用）.doc

全程复习方略】2020版高考数学 8.6抛物线课时提升作业 理 北师大版一、选择题1.(2020宜春模拟)动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l:y=-4的距离小2,则动点P的轨迹方程为　(　　)(A)y2=4x (B)y2=8x(C)x2=4y (D)x2=8y2.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点在圆x2+y2+2x-3=0上,则p=　(　　)(A)12 (B)1 (C)2 (D)33.抛物线y=-2x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是　(　　)(A)98 (B)78 (C)-98 (D)-784.一个正三角形的三个顶点都在抛物线y2=4x上,其中一个顶点在原点,则这个三角形的面积是　(　　)(A)483 (B)243 (C)1637 (D)16395.(2020九江模拟)已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为　(　　)(A)x=1 (B)x=-1(C)x=2 (D)x=-26.(2020铜陵模拟)直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A,B两点,过A,B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB的面积为　(　　)(A)48 (B)56 (C)64 (D)727.(2020西安模拟)若双曲线x2a2-y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线x=12by2的焦点分成3∶2的两段,则此双曲线的离心率为　(　　)(A)98 (B)63737 (C)533 (D)521218.(能力挑战题)已知M是y=14x2上一点,F为抛物线的焦点.A在C:(x-1)2+(y-4)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值为　(　　)(A)2 (B)4 (C)8 (D)10二、填空题9.以抛物线x2=16y的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为　　　.10.(2020巢湖模拟)抛物线y=116x2的焦点与双曲线y23-x2m=1的上焦点重合,则m=　　　　.11.(2020南昌模拟)已知点P是抛物线y2=4x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A的坐标是(4,a),则当|a|>4时,|PA|+|PM|的最小值是　　　　.三、解答题12.已知直线y=-2上有一个动点Q,过点Q作直线l1垂直于x轴,动点P在l1上,且满足OP⊥OQ(O为坐标原点),记点P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程.(2)若直线l2是曲线C的一条切线,当点(0,2)到直线l2的距离最短时,求直线l2的方程.13.(2020宝鸡模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2).(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程.(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于55?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.14.(能力挑战题)如图,曲线C1是以原点O为中心,F1,F2为焦点的椭圆的一部分,曲线C2是以原点O为顶点,F2为焦点的抛物线的一部分,A,B是曲线C1和C2的交点且∠AF2F1为钝角,若|AF1|=72,|AF2|=52.(1)求曲线C1和C2的方程.(2)设点C,D是曲线C2所在抛物线上的两点(如图).设直线OC的斜率为k1,直线OD的斜率为k2,且k1+k2=2,证明:直线CD过定点,并求该定点的坐标.答案解析1.【解析】选D.由已知得,动点P到点A(0,2)的距离与它到直线l:y=-2的距离相等,根据抛物线的定义得,该轨迹为以A(0,2)为焦点,y=-2为准线的抛物线,且p2=2,∴p=4.又焦点在y轴上,开口向上,所以所求方程为:x2=8y.2.【解析】选C.由已知(p2,0)在圆x2+y2+2x-3=0上,所以有p24+2p2-3=0,即p2+4p-12=0,解得p=2或p=-6(舍去).3.【解析】选D.由抛物线y=-2x2得x2=-12y,所以其焦点为F(0,-18),设点M纵坐标为y0,由抛物线定义得18-y0=1,得y0=-78.【方法技巧】求解抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题的技巧抛物线上的点到焦点的距离与抛物线上的点到准线的距离经常相互转化:(1)若求点到焦点的距离,则可联想点到准线的距离;(2)若求点到准线的距离,则经常联想点到焦点的距离.解题时一定要注意.4.【解析】选A.如图,可求AB所在的直线方程为y=33x,由y=33x,y2=4x,得B点坐标为(12,43),∴S△ABC=2S△ABD=2121243=483.5.【解析】选B.方法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线AB的方程为:y=x-p2,与y2=2px联立得:y2-2py-p2=0,∴y1+y2=2p,由题意知:y1+y2=4,∴p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1,故选B.方法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得y1+y2=4,y12=2px1,y22=2px2,两式相减得:kAB=y1-y2x1-x2=2py1+y2=p2=1,∴p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.6.【解析】选A.由题不妨设A在第一象限,联立y=x-3和y2=4x可得A(9,6), B(1,-2),而准线方程是x=-1,所以AP=10,QB=2,PQ=8,故S梯形APQB=12(AP+QB)PQ=48.7.【解析】选D.由已知得F1(-c,0),F2(c,0),抛物线x=12by2,即y2=2bx的焦点F(b2,0),依题意|F1F||FF2|=32.即b2+cc-b2=32,得:5b=2c⇒25b2=4c2,又b2=c2-a2,∴25(c2-a2)=4c2,解得c=52121a.故双曲线的离心率为ca=52121.8. 【解析】选B.由题意可知,焦点坐标为F(0,1),准线方程为l:y=-1.过点M作MH⊥l于点H,由抛物线的定义,得|MF|=|MH|.∴|MA|+|MF|=|MH|+|MA|,当C,M,H,A四点共线时,|MA|=|MC|-1,|MH|+|MC|有最小值,于是,|MA|+|MF|的最小值为4-(-1)-1=4.9.【解析】抛物线x2=16y的焦点为(0,4),准线方程为y=-4,故圆的圆心为(0,4),又圆与抛物线的准线相切,所以圆的半径r=4-(-4)=8,所以圆的方程为x2+(y-4)2=64.答案:x2+(y-4)2=6410.【解析】因为抛物线y=116x2的标准方程为x2=16y,焦点坐标为(0,4),又因为双曲线y23-x2m=1的上焦点坐标为(0,3+m),依题意有4=3+m,解得m=13.答案:13【误区警示】本题易出现y=116x2的焦点为(0,164)的错误,原因是对抛物线的标准方程记忆不准确.11.【解析】由y2=4x得,抛物线的焦点F(1,0),准线方程为x=-1,由|a|>4知点A(4,a)在抛物线的外部,要使|PA|+|PM|最小,只需|PA|+|PF|最小,这只需点A,P,F三点共线即可,此时:(|PA|+|PF|)min=(4-1)2+a2=a2+9,所以:|PA|+|PM|的最小值为(|PA|+|PF|)min-1=a2+9-1.答案:a2+9-112.【解析】(1)设点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(x,-2).∵OP⊥OQ,∴当x≠0时,得kOPkOQ=-1,即yx-2x=-1,化简得x2=2y,当x=0时,P,O,Q三点共线,不符合题意,故x≠0.∴曲线C的方程为x2=2y(x≠0).(2)∵直线l2与曲线C相切,∴直线l2的斜率存在.设直线l2的方程为y=kx+b,由y=kx+b,x2=2y,得x2-2kx-2b=0.∵直线l2与曲线C相切,∴Δ=4k2+8b=0,即b=-k22.点(0,2)到直线l2的距离d=|-2+b|k2+1=12k2+4k2+1=12(k2+1+3k2+1)≥122k2+13k2+1=3.当且仅当k2+1=3k2+1,即k=2时,等号成立.此时b=-1.∴直线l2的方程为2x-y-1=0或2x+y+1=0.13.【解析】(1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p1,所以p=2.故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.(2)存在.假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t.由y=-2x+t,y2=4x,得y2+2y-2t=0.∵直线l与抛物线C有公共点,∴Δ=4+8t≥0,解得t≥-12.由直线OA与l的距离d=55,可得|t|5=15,解得t=1.∵-1∉[-12,+∞),1∈[-12,+∞).∴符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.14.【解析】(1)设A(xA,yA),F1(-c,0),F2(c,0),曲线C1所在椭圆的长轴长为2a,则2a=|AF1|+|AF2|=6.又由已知及圆锥曲线的定义得:(xA-c)2+yA2=254,(xA+c)2+yA2=494,xA+c=52,得:(xA-c)2=14.又∵∠AF2F1为钝角,∴xA-c=12,故xA=32,c=1,即曲线C1的方程为x29+y28=1(-3≤x≤32),曲线C2的方程为y2=4x(0≤x≤32).(2)设直线OC的方程为:y=k1x,由y=k1x,y2=4x,得(k1x)2-4x=0,即C(4k12,4k1),同理得:D(4(2-k1)2,42-k1),∴直线CD的方程为:y-4k1=4k1-42-k14k12-4(2-k1)2(x-4k12),即y=k1(2-k1)2x+22,当x=0时,恒有y=22,即直线CD过定点(0,22).。