小学奥数教师版（合辑）：7-7-2 容斥原理之重叠问题（二）.教师版.pdf

读万卷书 行万里路 1 1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把 两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成：ABABAB=+(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思； 符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理图示 如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积图示 如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积 教学目标教学目标 知识要点知识要点 7 7- -7 7- -2.2.容斥原理之重叠问题容斥原理之重叠问题（二）（二） 1先包含AB+ 重叠部分AB计算了2次，多加了1次； 2再排除ABAB+ 把多加了1次的重叠部分AB减去 读万卷书 行万里路 2 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合AB、的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合AB、的元素个数，然后加起来，即先求AB+(意思是把AB、的一切元素都“包含” 进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去CAB=(意思是“排除”了重复计算的元素个数) 二、三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和A=类元素的个数B+类元素个数C+类元素个数既是A类又是B类 的元素个数既是B类又是C类的元素个数既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元 素个数用符号表示为：ABCABCABBCACABC=+++图示如下： 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考 例题精讲例题精讲 图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数， 大圆表示C的元素的个数 1先包含：ABC++ 重叠部分AB、BC、CA重叠了2次， 多加了1次 2再排除：ABCABBCAC++ 重叠部分ABC重叠了3次，但是在进行ABC++ ABBCAC计算时都被减掉了 3再包含：ABCABBCACABC+++ 读万卷书 行万里路 3 模块一、三量重叠问题 【例【例 1】】 一栋居民楼里的住户每户都订了 2 份不同的报纸。

如果该居民楼的住户只订了甲、 乙、 丙三种报纸， 其中甲报 30 份，乙报 34 份，丙报 40 份，那么既订乙报又订丙报的有___________户 【考点】三量重叠问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，1 试 【解析】 总共有（303440）252 户居民，订丙和乙的有 523022 户 【答案】22户 【例【例 2】】 某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共 有26人，手中有蓝旗的共有18人其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人而手中只有红、黄 两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么 这个班共有多少人？ 【考点】三量重叠问题 【难度】3 星 【题型】解答 C B A 读万卷书 行万里路 4 【解析】 如图，用A圆表示手中有红旗的，B圆表示手中有黄旗的，C圆表示手中有蓝旗的如果用手中有 红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加，发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减去， 手中有三种颜色小旗的重复计算了二次，也应减去，那么，全班人数为：3426 18943++++（） （） 6 250=(人) 【答案】50人 【巩固】 某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4 人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好问：既爱打 篮球又爱打排球的有几人？ 【考点】三量重叠问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 由于全班42人没有一个人三种球都不爱好，所以全班至少爱好一种球的有42人根据包含排除法， 4226 17 1994=++++（） （既爱打篮球又爱打排球的人数0+），得到既爱打篮球又爱打排球的人数 为：49427=(人) 【答案】7人 【例【例 3】】 四年级一班有 46 名学生参加 3 项课外活动 其中有 24 人参加了数学小组， 20 人参加了语文小组， 参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的 35 倍，又是 3 项活动都参加人数 的 7 倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于 3 项都参加的人数的 2 倍，既参加数学小 组又参加语文小组的有 10 人求参加文艺小组的人数 【考点】三量重叠问题 【难度】3 星 【题型】解答 读万卷书 行万里路 5 【解析】 设参加数学小组的学生组成集合A，参加语文小组的学生组成集合B，参加文艺小组的学生组成集 合G 三 者 都 参 加 的 学 生 有z人 有ABC=46 ，A=24 ，B=20 ，C=3.5 ， AC=7ABC，BC=2ABC，AB=10 因为ABCABCABACBCABC=+++， 所以 46=24+20+7x-10-2x-2x+x，解得x=3， 即三者的都参加的有 3 人那么参加文艺小组的有 37=21 人 【答案】21人 【巩固】 五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项其中有 25 人参加自然兴趣小组，35 人参加美术兴趣小组，27 人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有 12 人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有 8 人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有 9 人，语文、美术、自然 3 科兴趣小组都参加的有 4 人求这个班的学生人数 【考点】三量重叠问题 【难度】3 星 【题型】解答 C语文 B美术A自然 【解析】 设参加自然兴趣小组的人组成集合A，参加美术兴趣小组的人组成集合日，参加语文兴趣小组的人 组成集合C A=25，B=35，C=27，BC=12，AB =8，AC=9， ABC=4. 读万卷书 行万里路 6 ABC=ABCABACBCABC+++. 所以，这个班中至少参加一项活动的人有 25+35+27-12-8-9+4=62，而这个班每人至少参加一 项即这个班有 62 人 【答案】62人 【巩固】 光明小学组织棋类比赛， 分成围棋、 中国象棋和国际象棋三个组进行， 参加围棋比赛的有42人， 参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛 的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛 的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？ 【考点】三量重叠问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 根据包含排除法， 先把参加围棋比赛的42人， 参加中国象棋比赛的55人与参加国际象棋比赛的33人 加起来，共是425533130++=人把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的18人，同时参加围棋 和国际象棋的10人与同时参加中国象棋和国际象棋的9人减去，但是，同时参加了三种棋赛的5人 被加了3次，又被减了3次，其实并未计算在内，应当补上，实际上参加棋类比赛的共有： 13018 109598+++=（）(人) 或者根据学过的公式：ABCABCABBCACABC=+++，参加棋类比赛的总 人数为：425533 18 109598++ +=(人) 【答案】98人 读万卷书 行万里路 7 【例【例 4】】 新年联欢会上，共有 90 人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出如果只参加跳舞的人数三倍 于只参加合唱的人数； 同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少 7 人； 只参加演奏的比同时参加 演奏、跳舞但没有参加合唱的人多 4 人；50 人没有参加演奏；10 人同时参加了跳舞和合唱但没有 参加演奏；40 人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有________人 【考点】三量重叠问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】西城实验 【【解解析析】】 设只参加合唱的有x人，那么只参加跳舞的人数为3x，由50人没有参加演奏、10人同时参加了跳 舞和合唱但没有参加演奏，得到只参加合唱的和只参加跳舞的人数和为50 1040=人，即 340 xx+=，得10 x =，所以只参加合唱的有10人，那么只参加跳舞的人数为30人，又由“同时参 加三种节目的人比只参加合唱的人少7人”，得到同时参加三项的有3人，所以参加了合唱的人中 “同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的”有：40 10 10317 =人 【答案】17人 【巩固】 六年级 100 名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项其中，爱好体育的 55 人，爱 好文艺的 56 人，爱好科学的 51 人，三项都爱好的 15 人，只爱好体育和科学的 4 人，只爱好体育 和文艺的 17 人问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？ 【考点】三量重叠问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 只是A类和B类的元素个数，有别于容斥原理中的既是A类又是B类的元数个数依题意，画图 如 下 设 只 爱 好 科 学 和 文 艺 两 项 的 有x人 由 容 斥 原 理 ， 列 方 程 得 55565117 154 151515100 x++++++=（） （） （） 读万卷书 行万里路 8 即 555651 17415 2100 x++= 111100 x= 11x = 只爱好体育的有：55 17 15419=(人) 【答案】11人只爱好科学和文艺，19人只爱好体育。

【例【例 5】】 在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡，6个人 带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士 蛋糕2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕问： 三种都带了的有几人？ 只带了一种的有几个？ 【考点】三量重叠问题 【难度】4 星 【题型】解答 B A C 【解析】 如图，用A圆表示带汉堡的人，B圆表示带鸡腿的人，C圆表示带芝士蛋糕的人 根据包含排除法，总人数= （带汉堡的人数+带鸡腿的人数+带芝士蛋糕的人数）（带汉堡、鸡 腿的人数+带汉堡、芝士蛋糕的人数+带鸡腿、芝士蛋糕的人数+）三种都带了的人数，即 1066432 1+++++（） （）三种都带了的人数，得三种都带了的人数为：10 100=(人) 读万卷书 行万里路 9 求只带一种的人数，只需从 10 人中减去带了两种的人数，即1032 14++=（）(人)只带了一种 的有4人 【答案】（1）0 人，（2）4人 【巩固】 盛夏的一天，有10个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的 各有5人；可乐、雪碧都要的有3人；可乐、橙汁都要的有2人；雪碧、橙汁都要的有2人；三样都 要的只有1人，证明其中一定有1人这三种饮料都没有要 【考点】三量重叠问题 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】 略 【答案】根据根据包含排除法，至少要了一种饮料的人数=(要可乐的人数+要雪碧的人数+要橙汁的人 数)(要可乐、雪碧的人数+要可乐、橙汁的人数+要雪碧、橙汁的人数)+三种都要的人数，即至 少要了一种饮料的人数为：55532219+ ++++ =（） （）(人)1091=(人)，所以其中有1人这三种 饮料都没有要 【例【例 6】】 全班有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会滑冰，这三个运动项目没有人。