人教版高中数学【同课异构】精品课件2015-2016学年选修1-2课件：3.2.2《复数的乘除运算》.pdf

第四节复数代数形式的 乘除运算 掌握复数代数形式的乘法和除法运算理解复数乘法 的交换律、结合律和乘法对加法的分配律理解轭复数 的概念本节重点：复数的乘除运算及轭复数的概 念本节难点：轭复数的求解及特殊复数的运算 对于复数的代数形式乘除法法则，不必死记硬背，乘 法可按多项式类似的办法进行，除法只需记住两个复数相 除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子、分 母都乘以分母的轭复数，再把结果化简即可 1复数的乘法 设z1abi，z2cdi是任意两个复数，那么它们的 积(abi)(cdi)acbciadibdi2 (a，b，c，dR) (acbd)(adbc)i 2复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3C，有 交换律z1z2 结合律(z1z2)z3 乘法对加法的分配律z1(z2z3) z2z1 z1(z2z3) z1z2z1z3 3.扼复数的概念 一般地，当两个复数的，虚部 数时，这两个复数叫做互为轭复 数通常记复数z的轭复数，虚部不等于0的两个轭 复数也叫做 实部相等 互为相反 轭虚数 4(abi) (cdi)acbd c2d2 bcad c2d2 i，复数的除 法的实质是分母实数化，分母为 abi 型， 同乘 abi，abi 型，同乘 abi. 5(1 i)2 2i. 1i 1ii， 1i 1ii. (zm)nzmn. z z|z|2|z|2. z1 z2z1 z2. 对于复数的代数形式乘除法法则，不必死记硬 背，乘法可按多项式类似的办法进行，除法 只需记住两个复数相除，就是先把它们的商 写成分数的形式，然后把分子、分母都乘以 分母的轭复数，再把结果化简即可 计算：(1) i2 3 12 3i(5i 19) 1i 2 22； (2) (22i)4 (1 3i)5. 练一练 例1 (1i)22i，(1i)2 2i， 31 解析 (1) i2 3 12 3i(5i 19) 1i 2 22 (12 3i)i 12 3i 5(i4)4 i2 i 1i 2 2 11 i5ii115i； (2)令 1 2 3 2 i，则 31，于是 (22i)4 (1 3i)5 24(1i)4 25 1 2 3 2 i 5 (2i)2 25 2 6 21 3i. 设复数 z 满足12i z i，则 z 等于 ( ) A2i B2i C2i D2i 解析 z 12i i (12i)(i) i(i) 2i. 答案 C 变式1 (2010 徐州高二检测)设 P，Q 是复平面上的点集， P z|z z 3i(zz)50，Qw|w2iz，zP (1)P，Q 分别表示什么曲线？ (2)设 z1P，z2Q，求|z1z2|的最大值与最小值 例2 分 析 (1)设zxyi，(x，yR)，即P(x，y) 代入z z3i(zz)50化简整理得P的轨迹方程 代入法求Q的轨迹方程 (2)根据复数的几何意义|z1z2|的几何意义结论 解析(1)设zxyi(x，yR)则集合 P(x，y)|x2y26y50 (x，y)|x2(y3)24， 故P表示以(0,3)为圆心，2为半径的圆 设wabi(a，bR) zx0y0iP(x0，y0R)且w2iz. 则 a2y0 b2x0 ，将 x01 2b y01 2a 代入 x2 0(y03) 24 得(a6)2b216. 故 Q 表示以(6,0)为圆心，4 为半径的圆 (2)|z1z2|表示分别在圆 P，Q 上的两个动点间的距离， 又圆心距|PQ|3 524，故|z1z2|最大值为 63 5最小 值为 3 56. 点评 轭复数的性质 (1)在复平面上，两个轭复数对应的点关于实轴对称 (2)实数的轭复数是它本身， 即 zzzR， 利用这个 性质可证明一个复数为实数 (3)若 z0 且 zz0，则 z 为纯虚数，利用这个性质， 可证明一个复数为纯虚数 计算：ii2i3i2011. 分析由题目可获取以下主要信息： 已知虚数单位i的幂，求和 解答本题可利用等比数列求和公式化简 或者利用in的周期性化简 例3 解析 方法一：原式i(1i 2011) 1i i(1(i 2)1005 i) 1i ， i (1i) 1i i 2i 2 1 方法二：ii2i3i4i1i10， inin 1in2in30(nN)， 原式(ii2i3i4)(i5i6i7i8)(i2005i2006 i2007i2008)(i2009i2010i2011i2012)i2012 i20121 点评 1.虚数单位 i 的周期性 i4n 1i，i4n21，i4n3i，i4n1(nN) n 也可以推广到整数集 inin 1in2in30(nN) 2记住以下结果，可提高运算速度 (1i)22i，(1i)22i. 1i 1ii， 1i 1ii. 1 i i. 解析 设 S12i3i22009i2008， 则 i Si2i22008 i20082009i2009 (1i)S1ii2i20082009i2009 1 (1i2009) 1i 2009i12009i. S12009i 1i 10051004i. 计算：12i3i22009i2008. . 已知1i是关于x的方程x2bxc0的 一个根(b，c为实数) (1)求b，c的值； (2)试说明1i也是该方程的一个根 例4 解析 (1)因为 1i 是方程 x2bxc0 的一个根， 所以(1i)2b(1i)c0，即(bc)(2b)i0， 所以 bc0， 2b0， 解得 b2， c2. 所以 b，c 的值分别为2,2. (2)由(1)知原方程为 x22x20， 把 1i 代入方程左边， 得(1i)22(1i)20，右边0，左边右边，显然方程 成立，因此 1i 也是原方程的一个根 注意：因为已知方程x2bxc0的一根是复数根， 故我们需将该已知根代入方程，根据复数相等的充要条件 求解 有关复数的方程问题一般有两种情况： 方程的根为复数，系数为实数，已知方程的一个复 数根，求实系数 方程的根为实数，系数为复数，求实根 3对于实系数一元二次方程 ax2bxc0，当 <0 时， 方程的根为 xb i 2a ；当 0 时，方程的根为 x b 2a ，无论 0 还是 <0，根与系数的关系都成立，即 x1x2b a，x1x2 c a. 4在解复系数一元二次方程时，套用实系数一元二次方 程根的判别式 b24ac，这种做法是毫无意义的 误解 方程两边平方，得：x24x244x8i 4xi， 即 4(1i)x8i，所以 x 2i 1i1i. 解方程|x|2x2i.例5 正解 可设 xabi(a，bR)， 则 a2b22abi2i(2a)(b2)i 由复数相等可得 a2b22a b20 解得 a0 b2 所以方程的解为 x2i. 辨析在解题中用了复数范围内不成立的等式 |z|2z2. 一、选择题 1(2010 浙江文，3)设 i 为虚数单位，则5i 1i( ) A23i B23i C23i D23i 解析 本题考查了复数的除法运算 5i 1i (5i)(1i) (1i)(1i) 46i 2 23i. 答案C 2在复平面内，复数 z 1 2i对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案D 解析 z 1 2i 2i 5 2 5 i 5， 故 z 对应的点位于第四象 限 3复数2(2i) 12i ( ) A2i B2i C2 D2 答案A 解析 2(2i) 12i 2(2i)(12i) 5 2(25i2) 5 2i. 解析 由题意可得 x23x y1 x1 y1 二、填空题 4若x2yi和3xi互为轭复数，则实数x ______，y______. 答案11 。