三章常见曲面知识分享.ppt

第三章: 常见曲面,定义1：设空间曲面S及三元方程 F(x, y, z)=0. 如果 S 上任一点 M(x, y, z). 其坐标 x, y, z 都满足 F(x, y, z)=0. 反之，F(x, y, z)=0的任一解(x, y, z)对应的空间点(x, y, z)也在S上. 则称F(x, y, z)=0为 曲面S的方程. 而曲面S 则称为方程F(x, y, z)=0的图形.,空间中曲面的一般方程,空间直线可以表示为两个平面的交一样，空间两个曲面一般地相交于一条曲线, 所以我们称方程组,为空间中曲线的一般方程,空间中曲线的一般方程,那族平行直线中的 每一条直线，都叫做柱面的直母线.,一、柱面的概念,定义4.1.1 在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所生成的曲面叫做柱面（cylinder），,定方向叫做柱面的方向，,定曲线叫做柱面的准线（directrix），,,,,,母线,准线,说明：柱面的准线不是惟一的，每一条与柱面的母线都相交的曲线都可以作为柱面的准线.,一、柱面的概念,,,,,,,,,,,准线,母线,准线,,,注:一般柱面的准线不惟一,可用一张不平行于母线的平面与柱面相交得到的交线为准线.,二、柱面的方程,1 柱面的一般方程, 准线方程, 母线l 的方向向量：,普通方法,,,,,,,设M1(x1, y1, z1)为准线上任意一点,,写出母线族方程:,写出参数 x1, y1, z1的约束条件:,消去参数 x1, y1, z1得一个三元方程:,二、柱面的方程,1 柱面的一般方程, 准线方程,分析：,,,,,,,母线方程,母线l 的方向向量,例1 柱面的准线方程为 ，而母线的一个方向向量是 ， 求这柱面的方程.,解:,设M1(x1, y1, z1)为准线上任意一点,,(x1, y1, z1为参数),且,为消参数x1, y1, z1,可设,则,代入(1)式得,消去参数 t,并化简得所求柱面方程:,即,,,约束方程,,例2：已知圆柱面的轴为,点(1,-2,1)在此圆柱面的方程.,,,,,,,,,,,,轴,,分析,普通方法:,关键: 求圆柱面的准线(圆)方程.,圆柱面的轴:,,以M0为球心, M0M1为半径的球面,球面:,平面:,过点M1为与轴垂直的平面,圆柱面的准线方程:,,,,,,,,,,,,,,到定直线(轴线)的距离等于定值(半径)的点的轨迹. -----圆柱面,轴,圆柱面:,设圆柱面的轴线为,其中:,为轴线上的定点,,为轴线方向向量.,是圆柱面上任意点,,已知轴线及半径,已知轴线及柱面上一定点M1,,,,,解:,圆柱面的轴的方向向量:,为轴上定点.,是圆柱面上任意点,,且点 M1(1,-2,1)在此圆柱面上,,则点M与点 M1在到轴的距离相等,即:,,,,,所求圆柱面的方程:,例2 已知圆柱面的轴为 ，点 在此圆柱面上， 求这个圆柱面的方程.,,a,b,,,,,椭圆柱面（直角坐标系）,方程的形式与柱面的图形特征之间有联系吗？,3.1.2、直母线平行于坐标轴的柱面,性质3.1.1,3.1.2、直母线平行于坐标轴的柱面,,证:,方程F(x, y) = 0 表示的曲面是柱面,且母线平行于z轴.,取曲面与xoy坐标面的交线,为准线,,z轴方向(0,0,1)为母线方向建立柱面方程.,设M1(x1, y1, 0)为准线上任意一点,,则过点M1的母线方程为:,且有,即,将代入消去参数x1, y1得所求柱面方程: F(x, y) = 0 与原方程一致.,,,这样就证明了原方程表示的曲面是一个柱面.,,性质3.1.1,3.1.2、直母线平行于坐标轴的柱面,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面,叫做空间曲线L对xoy面射影的射影柱面;,叫做空间曲线L对xoz面射影的射影柱面;,叫做空间曲线L对yoz面射影的射影柱面.,叫做空间曲线L在xoy面上的射影曲线.,叫做空间曲线L在xoz面上的射影曲线.,,叫做空间曲线L在yoz面上的射影曲线.,,消去y 得:,例: 求空间曲线L:,消去z 得:,消去x 得:,对三个坐标面的射影柱面方程及射影曲线.,解:,即为曲线对xoy坐标面射影的射影柱面.,即为曲线对yoz 坐标面射影的射影柱面.,即为曲线对xoz坐标面射影的射影柱面.,且,且,且,为曲线L在yoz 坐标面射影的射影曲线.,为曲线L在xoy坐标面射影的射影曲线.,为曲线L在xoz坐标面射影的射影曲线.,主要内容:,1、建立柱面方程的一般方法及步骤;,2、已知中心轴及(可求)半径的圆柱面方程的建立.,3、准线在坐标面上，母线平行于坐标轴的柱面的建立,4、将空间曲线在某一平面上投影，会求所作的,射影柱面方程和射影平面的曲线方程。