初中数学竞赛考题分类汇编集+初中数学竞赛九年级预赛试题及答案.doc
53页初中数学竞赛考题分类汇编集+初中数学竞赛九年级预赛试题及答案初中数学竞赛考题分类汇编（一）数与式例题1.化简=_____例题2、设a,b是不相等的任意正数,又,,则有x,y这两个数一定( )A.都不大于2 B.都小于2 C.至少有一个大于2 D.至少有一个小于2例题3、设的平均数为M，的平均数为N，N，的平均数为P，若，则M与P的大小关系是（ ）A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定例题4、a、b、c为正整数，且，求c的最小值例题5、已知，那么=_______例题6、已知a，b，c为整数，且a＋b=2006，c－a=2005．若a
9、已知a+b+c=3,求10、知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4.（1）求a，b，c中的最大者的最小值；（2）求的最小值. 全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设非零实数a，b，c，满足则的值为（ ） （A）— （B）0 （C） （D）12．已知a，b，c是实常数，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个非零实根x1，x2，则下列关于x的一元二次方程中，以，为两个实根的是（ ） （A）c2x2+(b2－2ac)x+a2=0 （B）c2x2—(b2－2ac)x+a2=0 （C）c2x2+(b2－2ac)x—a2=0 （D）c2x2—(b2－2ac)x—a2=03．如图，在Rt△ABC中，已知O是斜边AB的中点，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥OC，垂足为E，若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定是有理数的为（ ） （A）OD （B）OE （C）DE （D）AC4．如图，已知△ABC的面积为24，点D段AC上，点F段BC的延长线上，且BC=4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ） （A）3 （B）4 （C）6 （D）85．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：=， 且，则的值为（ ） （A） （B） （C） （D）二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．设a=，b是a2的小数部分，则(b+2)3的值为____________．7．如图，点D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面积分别为3，4，5，则四边形AEFD的面积是____________．8．已知正整数a，b，c满足a+b2—2c—2=0，3a2—8b+c=0，则abc的最大值为__________．9．实数a，b，c，d满足：一元二次方程x2+cx+d=0的两根为a，b，一元二次方程x2+ax+b=0的两根为c，d，则所有满足条件的数组（a，b，c，d）为___________________________________．ABCED（第7题)ABCFDE（第4题)10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了__________支圆珠笔．ABCODE（第3题)三、解答题（共4题，每题20分，共80分）ADBCOyxE11．如图，抛物线y=ax2+bx—3，顶点为E，该抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，且OB=OC=3OA，直线y=—x2+1与轴交于点D，求∠DBC－∠CBE．12．设△ABC的外心，垂心分别为O，H，若B，C，H，O共圆，对于所有的△ABC，求∠BAC所有可能的度数．13．设a，b，c是素数，记x=b+c－a，y=c+a－b，z=a+b－c，当z2=y，－=2时，，，能否构成三角形的三边长？证明你的结论．14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，…，an，满足对任意一个正整数m，在a1，a2，…，an中都至少有一个为的魔术数．2013年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1．【答案】A 【解答】由已知得，故．于是，所以．2．【答案】B 【解答】由于是关于的一元二次方程，则．因为，，且，所以，且 ，，于是根据方程根与系数的关系，以，为两个实根的一元二次方程是，即．（第3题）3．【答案】D 【解答】（第3题答题）因AD，DB，CD的长度都是有理数，所以，OA＝OB＝OC＝是有理数．于是，OD＝OA－AD是有理数．由Rt△DOE∽Rt△COD，知，都是有理数，而AC＝不一定是有理数．（第4题）4．【答案】C 【解答】因为DCFE是平行四边形，所以DE//CF，且EF//DC．（第4题答题）连接CE，因为DE//CF，即DE//BF，所以S△DEB = S△DEC，因此原来阴影部分的面积等于△ACE的面积．连接AF，因为EF//CD，即EF//AC，所以S△ACE = S△ACF．因为，所以S△ABC = 4S△ACF．故阴影部分的面积为6．5．【答案】C 【解答】设，则，于是．二、填空题6．【答案】 【解答】由于，故，因此．7．【答案】 【解答】如图，连接AF，则有：（第7题答题），，解得，．所以，四边形AEFD的面积是．8．【答案】 【解答】由已知，消去c，并整理得．由a为正整数及≤66，可得1≤a≤3．若，则，无正整数解；若，则，无正整数解；若，则，于是可解得，．（i）若，则，从而可得；（ii）若，则，从而可得．综上知的最大值为．9． 【答案】，（为任意实数）【解答】由韦达定理得由上式，可知．若，则，，进而．若，则，有（为任意实数）．经检验，数组与（为任意实数）满足条件．10．【答案】207 【解答】设x，y分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则所以，于是是整数．又，所以，故y的最小值为207，此时．三、解答题（第11题）11．如图，抛物线，顶点为E，该抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线与轴交于点D．求∠DBC-∠CBE．【解答】将分别代入，知，D(0，1)，C(0，)，所以B(3，0)，A(，0)．直线过点B．（第11题答题）将点C(0，)的坐标代入，得．抛物线的顶点为(1，)．于是由勾股定理得BC＝，CE＝，BE＝．因为BC2＋CE2＝BE2，所以，△BCE为直角三角形，．因此tan==．又tan∠DBO=，则∠DBO＝．所以，．12．设△的外心，垂心分别为，若共圆，对于所有的△，求所有可能的度数．【解答】分三种情况讨论．（i）若△为锐角三角形．因为，所以由，可得，于是．（第12题答题（ii））（第12题答题（i））（ii）若△为钝角三角形．当时，因为，所以由，可得，于是。
当时，不妨假设，因为，所以由，可得，于是．（iii）若△为直角三角形．当时，因为为边的中点，不可能共圆，所以不可能等于；当时，不妨假设，此时点B与H重合，于是总有共圆，因此可以是满足的所有角．综上可得，所有可能取到的度数为所有锐角及．13．设，，是素数，记，当时，，，能否构成三角形的三边长？证明你的结论．【解答】不能．依题意，得．因为，所以．又由于为整数，为素数，所以或，．当时，．进而，，，与，是素数矛盾；当时，，所以，，不能构成三角形的三边长．14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数，满足对任意一个正整数m，在中都至少有一个为m的魔术数．【解答】若n≤6，取1，2，…，7，根据抽屉原理知，必有中的一个正整数M是≤＜≤7的公共的魔术数，即7|()，7|()．则有7|()，但0＜≤6，矛盾．故n≥7．又当为1，2，…，7时，对任意一个正整数m，设其为位数（为正整数）．则（…，7）被7除的余数两两不同．若不然，存在正整数，≤＜≤7，满足7|[(，即，从而7|，矛盾．故必存在一个正整数≤≤7，使得7|(，即为m的魔术数．所以，n的最小值为7． 全国初中数学竞赛试题。
