如何教学生“学解题”？——基于波利亚的数学解题思想.pdf

《 数学之友》 2 0 1 5年第 8期 如何教学生“ 学解题” ? 基 于波利 亚的数 学解题 思想 肖栋坡 ( 长沙师范学院初等教育系， 4 1 0 1 0 0 ) 改变传统意义上对“ 解题教学” 的认识， 提出教 学生“ 学解题” 的新想法， 基于美国数学教育家波利 亚在《 怎样解题： 数学思维的新方法》 一书中论述的 数学解题思想， 结合目前数学解题教学的现状， 给出 教师教学生 “ 学解 题 ” 时的理解题 目、 拟定解 题方 案、 执行解题方案、 回顾反思四个阶段的教学建议与 策略， 并呈现解题教学案例加以分析． 对 于“ 如何教学生 学解题? ” 这 一问题 ， 也许有 人认为不过就是 “ 如何进行解题教学? ” 或者 “ 如何 教学生解题? ” 的问题． 事 实上 ， 这里所 谈 的不 仅仅 是“ 解题教学” 或者教学生“ 解题” ， 而是教学生“ 学 解题” ， 重点在于学生的“ 学” ． 1 教学生“ 学解题“ 的意义 教学生“ 学解题 ” ， 即是通过数学解 题教学 ， 以 数学问题的解决为载体， 使学生学会思考、 学会独 自 解“ 题” ． 当然， 这里 的“ 题” 是广义的 ， 不仅仅是指数 学问题 ， 还包括 日常生活和学习中遇到的难题． 通过 教学生“ 学解题”， 学生学会解题 ， 更 重要是学会 思 考． 在遇到新的数学问题或者陌生的实际问题时 ， 学 生会积极主动地寻求问题解决的方法， 进而创造性 地解决问题． 就狭义 上 的数学 问题 而 言 ， 数学教 师 解题 教 学的惯常思维是教学生“ 解题” ， 通常做法是教师 对学生一题一题地分析、 讲解， 学生的认知结构大 多会留存堆积一道又一道题 目， 零散而不系统． 学 生往往没有学会解题， 更没有学会思考， 遇到类似 的问题( 甚至已经解决过的问题) ， 有时还是不知 道从何下手， 遇到新问题更是束手无策． 很多数学 教师不止一次地埋怨或者想不明白， 为什么讲 了 很多遍 的数 学题 目在 考试 中再次 出现时 ， 学 生还 是做不出来?事实上， 学生面对多个科 目， 繁重的 学习任务， 很难记住教师讲过的一些具体题 目， 这 次题目在考试中重新出现 ， 学生不会做 ， 也是合乎 常理 的． 2 波利亚的“ 怎样解题表“ 如果 学生没 有掌握 分析 问题 、 解 决 问题 的思 路方法 ， 仅仅靠记忆题 目去应付考试是不可能的． 当然不是空谈解题方法， 知识、 技能也要落实， 通 过解题学会解题， 正像游泳运动员在游泳中学会 游泳、 歌唱家在歌唱中学会歌唱技巧一样． 波利 亚 的“ 怎样解题表 ” 不仅解决 了“ 怎样解题 ” 的问题 ， 同样在“ 怎样教学生学解题” 的问题上给予 了教学 启示． 波利亚在“ 怎样解题表” 中将解题分为 4个步 骤： ( 1 ) 理解题 目， 即明了已知数、 未知数和其他条 件； ( 2 ) 拟定方案 ， 即找 出已知数与未知数之 间的联 系或者考虑辅助问题， 并拟定一个具体的求解计划； ( 3 ) 执行方案， 即实现求解计划， 检查每一步骤； ( 4 ) 回顾反思， 即验明所求的解， 并将结果和方法试着用 于解决其他类似问题． ’ 波利亚在每个步骤里提供了若 干个具体的解题 提示语 ， 包括提示性问题和提示性建议 ， 目的是试 图 引起解题者的解题思维活动． 教师在进行解题教学、 教学生“ 学解题 ” 时， 可 以灵 活运用这 些解题 提示 语 ， 引导学生进行思维活动和思维方法的训练 ， 进而 发展学生的思维能力． 3 “ 怎样解题表“ 的教学启示 学生不能很好解题的原因， 除了数学认知结构 不够系统和完善， 还在于他们不能很好地掌握解题 的一般方法． 一个典型的现象是， 学生拿到一个数学 题目之后， 还没有看清题目、 理解题意， 就急于解题， 结果绕了很大的弯路， 还是找不到理想的解决问题 的办法， 结果只能使学生的自 信心受挫， 越来越不相 信自己能学好数学． 所以， 教师帮助学生克服解题中 · 3 3 · 《 数学之友》 的困难， 把 自己的解题想法清晰地表达给学生， 使学 生问接体验解题过程， 进而领悟到解题的一般方法， 就显得尤为重要． 3 ． 1 理 解题 目 解题的首要步骤是理解题目， 即是通常意义上 的“ 审题” ． 有时学生对所要解决的题 目不感兴趣， 没有力求解决问题 的欲望 ， 这就要求教师为学生选 择好 的数学题 目． 那数学教师该怎么去选择适合 学 生的好题 目呢?一句话 可以回答这个问题： 要使 学 生不“ 陷入题海” ， 就要教师“ 跳进题海” ． 很难想象 一 个没有做过大量数学题 目、 对数学题 目没有很好 感觉和了解的教师能为学生选择 出好 的题 目． 部分 学生一拿到题目， 还没深刻分析理解题 目的要求和 已知条件 ， 就急于尝试解题 ， 不能“ 谋定而后动 ” ， 这 就表明学生没有养成审题 的习惯． 在解题教学中， 很 多教师为了能多讲几道题 目， 往往对题 目进行按部 就班的讲解 ， 没有留给学生自主思考的时间， 更不用 说引导学生进行审题． 对于还未养成审题 习惯 的学生， 教 师最好在讲 解解题步骤之前帮助学生分析题 目． 对于这道题 ， 我 们所要求的是什么?该怎么用数学符号表示呢?现 在我们知道了什么?该怎么用数学语言表示 已知条 件呢?对于目标问题 ， 已知条件够用吗?如果不够 ， 又该怎么办呢?如果已知条件多余呢?给出的条件 相互矛盾吗?能不能把题 目中的元素在 图形上直观 地表示出来呢? 在 日常教学中 ， 教师若能经常采用 以上方法提 问学生 ， 启发学生进行分析题 目， 那么 ， 学生在以后 的做题过程中会在头脑里 自觉不 自觉地问 自己几个 这样的问题． 学生的审题 习惯、 分析问题的 自觉性就 在无意识中潜移默化地形成． 3 ． 2 拟 定解题 方案 有些学生在 理解 题 目之后 ， 就 匆匆 地动 笔演 算 ， 抓住题 目的细枝末 节不放弃 ， 进 行一次次 的尝 试 ， 最终一次次走进死胡同， 无功而返， 遍尝失败 的滋味． 教师要使学生克服这个困难， 就要帮助学 生学会拟定解题方案． 针对具体的数学问题， 存在 着不 同的解题 方案 ， 帮 助学 生拟定 一个个 具体 问 题的解题方案是不可能实现的． 教师需要做的是 教学生学会 拟定解 题方案 的一 般方 法 ， 培养 学生 在理解题意之后 、 解题之前 拟定解题方案 的意识． 让学生的头脑里在解题之前有清晰的解题思路， ． 3 4 · 第 一步该做 什么 ， 第 二步 ， 第三 步 ⋯⋯． 用 较 为形 象生动 的语 言表 达 ， 就是教学 生在 已知和 未 知之 问“ 架桥” ， 计划解题步骤的过程就是铺设桥墩、 建 起桥梁 的过程． 3 ． 3 执行解题 方案 也许有学生认 为执行解题方 案 比拟定解题方 案、 想出解题方法容易得多 ， 于是想当然地去执行方 案． 如果说拟定解题方案、 得到解题“ i d e a ” 是对学生 思维能力的考验， 那么执行解题方案是对学生耐心、 毅力、 “ 不达 目的誓不罢休” 等情感品质的考验． 拟定解题方案仅仅是从总体思路上给出解题方 法， 而解题过程中的具体细节需要在执行方案阶段 完成 ， 否则就前功尽弃了． 有时拟定的解题方案不适 当， 不能继续执行下去， 就要求解题者勇于放弃先前 的方案 ， 重新拟定 ， 再次执行． 执行解题方案 的每一 步都要认真、 细心 、 耐心 ， 哪怕只是一个小小的计算． 因为只有保证过程 的万无一失 ， 才能得到完全正确 的结果． 因此 ， 教师在示范解题教学的执行方案阶段 时 ， 要保证每一步 自然而合理 、 简洁而 明确 ， 给学生 以良好的榜样示范作用． 教师可以引导学生正确地执行方案 ： 你认为这 样解答正确吗?下一步该做什么呢?怎样看出每⋯ · 步是否正确呢?解题过程是否 自然合理呢?解题过 程 的书写是否简洁明确呢?数学符号的使用符合不 符合常规呢?⋯⋯ 3 ． 4回顾 反 思 多数学生做完一道题目， 要么急于做下一道题， 要么立即合上作业本万事大吉， 他们忽视了解题过 程中的关键一 步—— 回顾反思 ， 恰好错 过 了“ 学 会 解题” 的最好机会 ， 无异于 “ 人宝山而空返” 通过解 题之后的回顾反思 ， 可以加强新旧知识之间的联系， 促进知识的同化和顺应 ， 把 新知识纳入原有的数学 认知结构之中． 在解题的回顾反思阶段 ， 解题者应该 回顾什么 呢?仅仅把 自己的解题过程从头到尾看一遍就算回 顾了吗?对于一个还没有养成解题回顾习惯、 不懂 怎么 回顾反思的学生 ， 教师该做 出哪些努力 呢?如 果教师每次只给学生强调解题 回顾很重要 ， 而在解 题教学中从来没有身体力行 ， 稍微的给学生做出回 顾反思的表率， 很难想象他的学生会形成 回顾反思 的习惯． 教 师在 引导 学 生解 完 一道 题 之后 ， 要 问 学生 ： 《 数学之友》 2 0 1 5 年第 8 期 能否检验你的解答?能不能对解题方法作出改 进?能不能换一种方法解决问题?解题过程 中用到 了哪些具体的数学思想方法?能否改变问题的结论 或条件成为一个新的问题， 并对新问题做出解答?能 否把得到的结论或结果应用到其他问题的解决中? 4 解题教学的案例呈现 结合一道具体的数学题 目， 呈现如下的解题教 学案例． 题目过点 P ( 3 ， 0 ) 作直线 f ， 使它被两条相交 直线 f 1 ： 2 x— Y一 2= 0和 Z ： + Y+3= 0所截得的线 段恰好被点 P平分 ， 求直线 的方程． 教师在讲解题 目之前， 留给学生足够的思考空 间和时间 ， 让学生 自己尝试分析 问题 、 理解题 目． 优 秀的学生或许能看到解决问题的方法 ， 但对于一般 学生仍需要教师的帮助． 这道题 目所要求的是什么? 我们 已知什么?哪些条件可以直接利用 ， 必须重点 关注?也许 很 多学 生一看 到题 目中“ 求 直线 的方 程 ” ， 并且直线 已经过点 P， P点的坐标 已知 ， 所 以不 管三七二十一 ， 先设 出直线 的点斜式方程 ， 如果能求 出直线 的斜率 ， 就解决了问题． 这样的解题方法是很 容易想 出来 的， 但是不容易实施 ， 因为通过联立方程 求解交点坐标 ， 计算量较大 ， 并且容易忽视斜率不存 在的情况． 学生一开始有这样 的想法是 自然的 ， 因为 这种解题方法所用到的数学知识是学生认知结构 中 较容易提取 的． 教师 可以先让学生尝试 用这种方法 去解 决 问 题． 然后提示学生 ： 这道题 目只有这一种解法吗?这种解法是最好 的吗 ? 这种 解 法 有 没有 什 么 问题 ?有 没 有 其 他 的 解法? 能不能换一种思考问题 的方式? 刚才的解法是从问题开始的， 能不能想到从条 件着手解决呢? 如果可以从条件开始着手解决问题， 哪些条件 是已知的， 是可以利用的?两个焦点的中点 P的坐 标和两条直线的方程已知， 已知条件和问题之间有 什么联系呢? 问题需要求直线的方程， 直线是由两个交点确 定的 ， 如果知道两个 交点 的坐标 ， 问题就得到 了解 决． 而两个交点 的坐标和 中点 P的坐标存在怎样 的 关系呢?能不 能利用 中点 P的坐标表示两个交 点 的坐标? 如果 能， 该 怎 么样 去表 示 呢?这 里还 有条 件 “ 两个交点分别所在的直线的方程” 没有利用， 能不 能利用这一条件求交点的坐标呢? 求出两个交点的坐标 ， 就可以确定直线的斜率， 但是要求直线的方程， 是不是还缺少什么条件?是 不是缺少直线上某一点的坐标呢?幸运的是已知条 件 中有这样的一个点． 以上是在分析 问题、 理解题意之后所设想 的解 题方案， 下面是实施解题计划的过程． 解 ： 由于 P( 3 ， 0 ) 是交点 A， 的中点 ， 。