数字通信-加性高斯白噪声信道的最佳接收机.pptx

数字通信-加性高斯白噪声信道的最佳接收机 最佳接收机的设计（相干解调）相关解调器、匹配滤波解调器、检测器 无记忆调制的最佳接收机性能误码率计算 随机信号相位的最佳接收机非相干解调 再生中继及无线信道链路预算1 受加性高斯白噪声(AWGN)劣化信号的最佳接收机图5-1-1 通过AWGN信道的接收机信号模型n(t)为加性白高斯噪声的一个样本函数，其功率谱为(5-1-1)目的：设计一个在观察时间间隔内使错误概率最小意义上的最佳接收机为了便于分析，可将接收机分成解调器和检测器两部分信号解调器检测器接收信号输出判决信号解调器：将接收信号波形变换成N维信号向量rr1 r2 rN检测器：根据r来判断接收信号是M个可能发送信号波形 中的哪一个常用的解调器有相关解调器和匹配滤波器二种1.1 相关解调器（CORRELATION DEMODULATOR）图5-1-3 相关解调器相关解调器是将接收信号和噪声分解成N维向量，即用正交基函数 的线性组合来表示接收信号和噪声正交基函数集 能构架信号 空间，但不能构架噪声空间但可以证明落在信号空间以外的噪声项不影响信号的检测 N个相关器的输出smk是信号波形sm(t)在基函数fk(t)上的投影，nk是白噪声n(t)在基函数fk(t)上的投影，是一个随机变量。

5-1-2)(5-1-3)因此，接收信号r(t)可表示为其中，表示n(t)与其在 上的投影差 n(t) 是零均的高斯噪声过程可以证明n(t) 与 是不相关的，即不能从n(t)中得到任何对判决有关的信息，所以最后的判决将完全取决于相关器的输出(5-1-5)(5-1-4)是确知信号波形，因此smk是常量是高斯分布的随机变量，其均值为协方差(5-1-6)(5-1-7)其中，噪声分量 为N个零均的、方差都是 、互不相关的高斯随机变量，因此也是统计独立的当发送端发送第m个信号波形 sm(t)时，相关器输出 是统计独立的高斯随机变量，其方差均值(5-1-8)(5-1-9)其中(5-1-11)(5-1-12)当发送为sm、接收为r时的条件概率密度函数是(5-1-10)相关器的输出rk对判定M个发送信号波形集中哪个信号被发送是充分统计的事实上，我们只要证明从剩余噪声过程n(t)中不可能再得到更多与信号判决相关的信息，即n(t)与N个相关器的输出rk是不相关的例5-1-1 研究一个M进制基带PAM信号集，基本信号脉冲g(t)是矩形的加性噪声是零均的白高斯噪声过程求基函数 f(t)及相关器的输出Ttg(t)0a矩形脉冲的能量因为PAM信号集是一维信号，所以只有一个基函数接收信号相关器输出其中噪声项n的均值En=0，方差解调器取样输出r的概率密度函数为1.2匹配滤波器解调器图5-1-7 匹配滤波器解调器用一组N个线性滤波器替换N个相关器来产生变量rk，假如这N个滤波器的冲击响应为则滤波器的输出t=T时刻的取样输出因此，N个滤波器在t=T时刻的输出样值同由N个线性相关器得到的样值rk完全一致。

5-1-14)(5-1-15)(5-1-16)匹配滤波器的定义：如果信号s(t)定义于时间间隔0tT上，则一个具有冲击响应为h(t)=s(T-t)的滤波器称为信号s(t)的匹配滤波器其对信号s(t)的响应为(5-1-17)它是信号s(t)的时间自相关函数 y(t)是以tT为对称轴的偶对称函数，且在时刻tT到达峰值图5-1-5 信号s(t)及对s(t)匹配的滤波器 图5-1-6 匹配滤波器输出对于上述解调器，N个匹配滤波器同基函数fk(t)相匹配，1. 匹配滤波器的性质当信号s(t)受AWGN影响时，具有冲击响应与s(t)相匹配的滤波器使输出信噪比（SNR）最大接收信号滤波器输出t=T时刻的取样值(5-1-18)(5-1-19)信噪比噪声功率(5-1-20)(5-1-21)(5-1-22)利用柯西许瓦兹不等式等式仅当 ，即 时成立所以h(t)为匹配滤波器时，解调器输出信噪比最大5-1-24)(5-1-23)例5-1-2 研究图(5-1-8A)所示M=4双正交信号，该信号用于在AWGN信道传输信息假定噪声是零均的、功率谱密度为 求该信号集的基函数、匹配滤波器解调器的冲击响应以及当发送信号为S1(T)时匹配滤波器解调器的输出。

图 5-1-8a M=4双正交信号tT/2T0s1(t)As2(t)tT/2T0A(5-1-32)两个匹配滤波器的冲击响应(5-1-33)当发送s1(t)时，接收信号匹配滤波器输出匹配滤波器在t=T时刻取样输出中的信号项匹配滤波器的输出信号向量(5-1-34)其中n1=y1n(T)， n2=y2n(T)是匹配滤波器输出端的噪声分量(5-1-35)均值方差第一个匹配滤波器的输出SNRo为(5-1-36)(5-1-37)发送信号 接收信号向量1.3 最佳检测器本节研究的信号检测仅限于无记忆调制信号相关器或匹配滤波器解调器都产生输出向量r=r1 r2 rN，该向量包含了接收信号波形中所有相关信息本节讨论基于该观察向量的信号判决问题信号检测器是根据每个符号间隔中接收信号向量r的观察值对该间隔内的发送信号作出判决，以确定接收信号向量r对应于M个发送信号sm(t), m=1,2,M中的哪一个，该判决规则是使正确判决概率最大如果判决规则基于后验概率并将具有最大后验概率的信号判为发送信号，那么可证明判决的正确概率最大，或者说判决的差错率最小这一判决准则称为最大后验概率(MAP)准则(Maximum a posteriori probability criterion)。

利用贝叶斯规则，后验概率可表示为(5-1-38) 是发送信号为sm接收的观察向量为r的条件pdf 是第m个发送信号的先验概率 是观察向量r的pdf其中(5-1-39)从上述二式看出，计算后验概率 需要知道先验概率 及条件概率密度函数 当M个发送信号等概率出现时，最大后验概率判决准则等价为寻找使条件概率密度函数p(r|sm)为最大的发送信号由于p(r|sm)常称作似然函数(likelihood function)，所以这一判决规则称为最大似然(ML)准则(maximum-likelihood criterion)因此，当P(sm)全部相等时，MAP准则就等价于ML准则对于AWGN信道， p(r|sm)由式(5-1-12)给出5-1-12)为便于计算，对它求对数(5-1-40)寻找使上式最大的sm，等价为寻找同r的欧几里得距离最小的sm所以对于AWGN信道，ML准则简化为最小距离准则r|2对所有M个判决量来说是相同的，所以定义一个新的判决量寻找使D(r,sm) 最小的sm，等价于寻找使C(r,sm)- D(r,sm)最大的sm5-1-41)(5-1-42)(5-1-43)(5-1-44)最后式(5-1-44)化为相关度量(correlation metrios)(5-1-45)因此，这些度量可以由一个解调器产生，该解调器使接收信号r(t)与M个可能的发送信号进行相关运算，在信号能量不等的情况下再以偏置调整相关器的输出。

这等效于接收信号通过一组M个匹配于可能发送信号sm(t)的滤波器，并在符号间隔的终止时刻t=T取样图5-1-9 最佳AWGN接收机的另一种实现形式上面得到的是最佳ML检测器，当M个发送信号等概率出现时，MAP准则等价于ML准则但如果M个发送信号不是等概率时，最佳MAP检测器将基于概率P(sm|r) (m=1,2,M)作出判决，或等价于度量例5-1-3 研究二进制PAM调制信号求：工作于AWGN信道中的最佳MAP检测器二进制PAM是一维信号，其接收信号向量(5-1-46)yn(T)是零均的、方差 的高斯随机变量(5-1-48)(5-1-47)(5-1-49)(5-1-50)(5-1-51)(5-1-53)(5-1-52)(5-1-54)判决步骤：首先计算相关度量 ，随后与门限 作比较，如果大于门限值，则判为s1；反之，则判为s2s2s1门限区域R2区域R11. p1/2时，s1出现的概率较s2大，所以R1区域比R2大；2. p1/2时，与情况1相反，即R2区域比R1大；3. p=1/2，R1、R2区域一样大，这时判决门限为零，与噪声谱高N0无关而当p1/2时，门限与N0有关ML准则是当M个发送信号等概率出现时使判决错误概率最小的证明 当接收信号向量r=r1 r2 rN时，将N维信号空间中Rm区域划给发送信号sm(t)，那么这一判决错误的概率为其中 为 的补集。

M个发送信号的平均判决错误概率为通过把接收信号区域划分给具有最大p(r|sm)的sm，使P(e)最小当M个信号不等概时，上述证明可推广到MAP准则5-1-55)(5-1-56)每个小区域划给具有最大条件pdf p(r|sm)的sm Rm的划分原则是，对于接收到的信号向量r，比较M个条件pdf p(r|sm) ，谁最大就判给谁如果信号向量空间中的某一区域没有划给具有最大p(r|sm) 的Rm ，则将不是最大的这就证明了ML准则是当M个发送信号sm(t)等概率出现时，其判决的错误概率最小接收信号空间R1.4 最大似然序列检测器当发送信号无记忆时，上节所述的逐个符号检测器在最小符号错误概率意义上是最佳的但当发送信号有记忆时，即在连续的符号间隔内发送信号是相关的，则最佳检测器根据在连续信号间隔内接收信号的观察序列来判决本节研究4.3.2节所述的NRZI信号的最大似然序列检测算法，在每个信号间隔内发送信号是二进制PAM信号，相应的信号点 ，其中 为每比特能量匹配滤波器或相关解调器在第k个信号间隔内的输出Takbk(5-1-57)nk是零均的、方差n2 =N0/2的高斯随机变量两个发送信号的条件pdf分别为任意二个信号间隔内的噪声分量 nj , nk( jk)是不相关的，因此，对任意给定的长度为K的发送序列 s(m) (m=1,2,2K)，解调输出序列r1，r2， ， rk的条件pdf可表示为K个边际pdf的乘积(5-1-58)(5-1-59)在给定接收序列 r1，r2， ， rk 的条件下，使条件pdf p(r1,r2, ,rk |s(m)最大的序列s(m) (s1(m) , s2(m) , sK(m) ) 的检测器称作最大似然(ML)序列检测器。

将式(5-1-59)取对数，并忽略与判决无关的项，可得到ML序列检测器等价于选择使欧氏距离度量 最小的序列s(m)为了找到最小 的序列s(m)，似乎必须对共2K个可能的序列计算距离 但可用维特比算法消去一些序列5-1-60)假定搜索过程从状态S0开始tT r1s1(m)+n1状态第一次转移t2Tr2s2(m)+n2状态第二次转移，因记忆长度为1，所以此时进入稳态S0=0S1=1tT t2Tt3T每个节点各有两条输入和输出路径S0节点的输入路径为(0,0)和(1,1)，欧氏距离度量为舍去大的，留下小的，假定留下的是D0(0,0)S1节点的输入路径为(0,1)和(1,0)，欧氏距离度量为同样舍去大的，留下小的，假定留下的是D1(0,1)5-1-61)(5-1-62)S0=0S1=1tT t2Tt3Tt3Tr3s3(m)+n3状态第三次转移S0节点的输入路径为(0,0,0)和(0,1,1)，欧氏距离度量为S1节点的输入路径为(0,0,1)和(0,1,0)，欧氏距离度量为同样舍去大的，留下小的判决在延迟5L(L为记忆长度)个比特(或符号)以后进行5-1-63)(5-1-64)例5-1-4 研究上述NRZI信号序列的判决规则，检测方法采用5L比特延迟的维特比算法。

在t6T时刻，将有两个幸存序列此时，b1和b1将以概率近似等于1相同，如不同则取欧氏距离度量较小路径的比特(b1或 b1)，然后丢弃第一比特 在t7T时刻，使用下列两个幸存序列再对比特b2作出判决。