高中数学人教a版必修2学案：3.3.3点到直线的距离.doc

点到直线的距离点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直 线的距离公式.例 1 求两平行线 l1：2x + 3y – 8 = 0 l2：2x + 3y – 10 =0 的距离. 解法一：在直线 l1上取一点 P(4,0)，因为 l1∥l2，所以 P 到 l2的距离等于 l1与 l2的距离， 于是22| 2 43 0 10|2131323d    解法二：直接由公式22| 8( 10)|2 13 1323d   2．两平行线间的距离 d 已知 l1：Ax + By + C1 = 0 l2：Ax + By + C2 = 01222||CCd AB  证明：设 P0 (x0，y0)是直线 Ax + By + C2 = 0 上任一点，则点 P0到直线 Ax + By + C1 = 0 的距离为00122||AxByCd AB .又 Ax0 + By0 + C2 = 0 即 Ax0 + By0= –C2，∴1222||CCd AB 经典习题经典习题 例 1 求过点 M(–2，1)且与 A(–1，2)，B(3，0)两点距离相等的直线的方程. 解法一：当直线斜率不存在时，直线为 x = –2，它到 A、B 两点距离不相等. 所以可设直线方程为：y – 1 = k(x + 2)即 kx – y + 2k + 1 = 0.由 22|221||321|11kkkkkk  ，解得 k = 0 或1 2k  .故所求的直线方程为 y – 1 = 0 或 x + 2y = 0. 解法二：由平面几何知识：l∥AB 或 l 过 AB 的中点.若 l∥AB 且1 2ABk ，则 l 的方程为 x + 2y = 0.若 l 过 AB 的中点 N(1，1)则直线的方程为 y = 1. 所以所求直线方程为 y – 1 = 0 或 x + 2y = 0. 例 2 （1）求直线 2x + 11y + 16 = 0 关于点 P(0，1)对称的直线方程. （2）两平行直线 3x + 4y – 1 = 0 与 6x + 8y + 3 = 0 关于直线 l 对称，求 l 的方程. 【解析】 （1）当所求直线与直线 2x + 11y + 16 = 0 平行时，可设直线方程为 2x + 11y + C=0 由 P 点到两直线的距离相等，即2222|11|11 16211211C ，所以 C = –38.所求直线的方程为 2x + 11y – 38 = 0. （2）依题可知直线 l 的方程为：6x + 8y + C = 0.则它到直线 6x + 8y – 2 = 0 的距离122|2|68Cd ，到直线 6x + 8y + 3 = 0 的距离为222|3|68Cd 所以 d1 = d2即 2222|2||3|6868CC ，所以1 2C .即 l 的方程为：16802xy.例 3 等腰直角三角形 ABC 的直角顶点 C 和顶点 B 都在直线 2x + 3y – 6 = 0 上，顶点 A 的坐标是(1，–2).求边 AB、AC 所在直线方程.【解析】已知 BC 的斜率为2 3，因为 BC⊥AC所以直线 AC 的斜率为3 2，从而方程32(1)2yx即 3x – 2y – 7 = 0又点 A(1，–2)到直线 BC：2x + 3y – 6 = 0 的距离为10|| 13AC ，且10|| || 13ACBC.由于点 B 在直线 2x + 3y – 6 = 0 上，可设2( ,2)3B aa，且点 B 到直线 AC 的距离为 222|32(2)7|103 133( 2)aa   13|11| 103a所以1311103a或1311103a ，所以63 13a 或3 13所以6316(,)1313B或324(,)13 13B所以直线 AB 的方程为162132(1)63113yx  或242132(1)3113yx  即 x – 5y – 11 = 0 或 5x + y – 3 = 0 所以 AC 的直线方程为：3x – 2y – 7 = 0 AB 的直线方程为：x – 5y – 11 = 0 或 5x + y – 3 = 0.。