高中数学人教A版选修4-5课件：2-1比较法.pptx

第二讲 证明不等式的基本方法,一 比较法,1.理解作差比较法和作商比较法. 2.用比较法证明不等式.,1,2,3,1.比较法的种类 比较法一般分为两种:作差比较法和作商比较法.,,,1,2,3,2.作差比较法 (1)作差比较法的证明依据: ①ab⇔a-b0. (2)基本步骤:①作差;②变形;③判断符号;④下结论. 归纳总结 用作差比较法证明不等式时,要判断不等式两边差的符号,对不等式两边求差后,要通过配方、因式分解、通分等,对所得代数式进行变形,得到一个能够明显看得出其符号的代数式,进而得出证明.,,,,,,1,2,3,【做一做1-1】 当ab0时,下列关系式中成立的是 ( ),解析：方法一:取特殊值a=-4,b=-1,则知选项A,C,D不正确,选项B正确,故选B; 方法二:∵ab2. 而函数y=lg x(x0)为增函数, ∴lg b2lg a2,B项正确. 答案：B,1,2,3,A.PQR B.PRQ C.QPR D.QRP,1,2,3,(2)基本步骤:①作商;②变形;③判断与“1”的大小;④下结论.,,,,,1,2,3,1,2,1.作差比较法证明不等式的一般步骤 剖析：(1)作差:将不等式左右两边的式子看作一个整体进行作差. (2)变形:将差式进行变形,变形为一个常数,或变形为若干个因式的积,或变形为一个或几个平方和等. (3)判断符号:根据已知条件与上述变形结果,判断差的正负号. (4)结论:根据差的正负号下结论. 知识拓展若差式的符号不能确定,一般是与某些字母的取值有关时,则需对这些字母进行讨论.,1,2,名师点拨 使用作商比较法时一定要注意不等式两边的式子均为正值,若均为负值时,可先同乘-1,转化后再进行证明.,题型一,题型二,题型三,分析：因不等式的两边进行分子有理化相减后,可判断差的符号,故可用作差比较法进行证明.,题型一,题型二,题型三,反思 根据左、右两边都含无理式的特点,也可以采取两边平方的方法来比较,但是应先判断不等式两边的符号,当不等式两边的符号都大于0时,两边平方是等价变形,当不等式两边的符号都小于0时,两边平方后要改变不等号的方向.,题型一,题型二,题型三,分析：将商的对数化成对数的差,就是“化整为零”,有利于符号的确定.,题型一,题型二,题型三,分析：因为a,b均为正数,所以不等式左边和右边都是正数,故可以用作商比较法进行比较.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,【例3】 已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N+). (1)证明：数列{an+1}是等比数列; (2)令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,求函数f(x)在点x=1处的导数f'(1),并比较2f'(1)与23n2-13n的大小. 分析：在比较大小时,作差法的差式与“n”的取值有关,且大小关系随“n”的变化而变化.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,(2) 解:由(1)可知an=3×2n-1. ∵f(x)=a1x+a2x2+…+anxn, ∴f'(x)=a1+2a2x+…+nanxn-1. 从而f'(1)=a1+2a2+…+nan =(3×2-1)+2(3×22-1)+…+n(3×2n-1) =3(2+2×22+…+n×2n)-(1+2+3+…+n),题型一,题型二,题型三,则2f'(1)-(23n2-13n) =12(n-1)·2n-12(2n2-n-1) =12(n-1)·2n-12(n-1)(2n+1) =12(n-1)[2n-(2n+1)]. (*) 当n=1时,(*)式=0,∴2f'(1)=23n2-13n; 当n=2时,(*)式=-120. 令f(n)=2n-(2n+1),则f'(n)=2nln 2-2, 此时f'(n)0.又f(3)0, ∴当n≥3时,2n2n+1. ∴(n-1)[2n-(2n+1)]0, 即(*)式0,从而2f'(1)23n2-13n.,题型一,题型二,题型三,反思 此类比较大小的题是典型的结论不唯一的题.在数列中,大小问题可能会随“n”的变化而变化.往往n=1,2,…,前几个自然数对应的值与后面n≥n0的值大小不一样,这就要求在解答这样的题时,要时刻有“大小关系不一定唯一”的念头,即时刻提醒自己所求解的问题是否需要讨论.,题型一,题型二,题型三,(1) 解:由已知得an+1=an+1,即an+1-an=1. 又a1=1,所以数列{an}是以1为首项,公差为1的等差数列. 故an=1+(n-1)×1=n. (2)证明：由(1)知an=n,从而bn+1-bn=2n. bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1,题型一,题型二,题型三,。