校本课程3--奇妙的数.doc

11.卡普利加数有一个趣的故事，一天，印度数学家卡普利加外出旅行,途中突然天空乌云密布, 顷刻间狂风暴雨、雷电交加.马路边的一块里程碑正巧被电击中，里程碑被雷电劈成两半，上面的数据“3025”, 也正好一分为二，一半是 30,另一半是 25. 数学家的敏锐,使他很快发现了其中一个绝妙的数学关系：30+25=55552=3025把劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字除此之外，还有没有别的数，也具有这样的性质呢？熟悉速算的人很快就找到了另一个数——202520+25=452=2025按照第一个发现者的名字，这种怪数被命名为“卡普利加数”，又称“雷劈数”现在已有许多办法搜寻这种数，但最简便的办法是在 9 与 11 的倍数中寻找例如上面提到的 55，它是 11 的倍数，45 是 9 的倍数用这种办法，人们果然找到了一个极其有趣的数——77772=604817296048+1729=7777如 就没有 60481729 这个号码，因为7777·7777=60481729，6048+1729=7777，本来 7777 才是“雷劈数” ，但和 60481729 相关，所以腾讯为了图吉利就注销了 60481729 这个号，其实还有很多 “雷劈”号码腾讯只是不知道而已。

除了 号，还有很多车牌号也有这个“雷劈” 性质，大家多留心俄罗斯一个小朋友卡嘉也发现了一个新的雷劈数，它是 9801：98+1=992=9801从以上提到的 4 个雷劈数，我们不难发现同一情况：偶数加奇数会得到一个奇数，奇数的平方还是奇数有没有偶数雷劈数存在呢？答案是肯定的泸州师范附小的一位同学，就发现了偶数雷劈数 100：10+0=102=100经过验证，100 是最小的偶数雷劈数，也有可能是唯一的正偶数雷劈数这位同学还发现了最小的奇数雷劈数 818+1=92=81自然数中存在着无穷的奥秘，雷电劈出了卡普利加数，这仅仅是沧海一粟而已，把这些无穷的“粟粒”汇集起来，就成为数学中一门丰富多彩的分科——数论22.黑洞数黑洞数又称陷阱数，是类具有奇特转换特性的整数任何一个数字不全相同整数，经有限“重排求差 ”操作，总会得某一个或一些数，这些数即为黑洞数 “重排求差”操作即把组成该数的数字重排后得到的最大数减去重排后得到的最小数举个例子，三位数的黑洞数为 495简易推导过程：随便找个数，如 297，三个位上的数从小到大和从大到小各排一次，为 972 和 279，相减，得 693按上面做法再做一次，得到 594，再做一次，得到 495之后反复都得到 495再如，四位数的黑洞数有 6174请随便写出一个四位数，这个数的四个数字有相同的也不要紧，但这四个数不准完全相同或有完全相同趋向，例如 3333、7777、7337 等都应该排除。

随便造一个四位数，如 a1=1628,先把组成部分 1628 的四个数字由大到小排列得到a2=8621，再把 1628 的四个数字由小到大排列得 a3=1268，用大的减去小的 a2-a1=8621-1268=7353，把 7353 按上面的方法再作一遍，由大到小排列得 7533，由小到大排列得 3357，相减 7533-3367=4176把 4176 再重复一遍：7641-1467=6174 如果再往下作，奇迹就出现了！7641-1467=6174 ，又回到 6174这是偶然的吗？我们再随便举一个数 1331，按上面的方法连续去做：3311-1133=2178 8721-1278=7443 7443-3447=3996 9963-3699=62646642-2466=4176 7641-1467=6174好啦！6174 的“幽灵” 又出现了，大家不妨试一试，对于任何一个数字不完全的四位数，最多运算 7 步，必然落入陷阱中苏联的科普作家高基莫夫在他的著作《数学的敏感》一书中，提到了一个奇妙的四位数 6174，并把它列作“ 没有揭开的秘密 ”不过，近年来，由于数学爱好者的努力，已经开始拨开迷雾。

这个黑洞数已经由印度数学家证明了但是，五位数及五位以上的数还没有找到对应的黑洞数在数学中由有很多有趣，有意义的规律等待我们去探索和研究，让我们在数学中得到更多的乐趣3.三角形数古希腊科学家把数 1，3 ，6 ， 10，15，21……这些数量的( 石子)，都可以排成三角形，像这样的数称为三角形数它有一定的规律性，排列如下(构成图) ，像上面的 1、3、6、10、15 等等这些能够表示成三角形的形状的总数量的数，叫做三角形数一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数比如 10 个点可以组成一个等边三角形，因此 10 是一个三角形数：xx　xx　x　x3x　x　x　x开始个 18 个三角形数是1、3、6、10、 15、21、28、 36、45、55、66、78、91、105 、120 、136、153 、171……（OEIS 中的 数列 A000217）第 n 个三角形数的公式是 [（2n+1）2-1]/8 ，n(n+1)/2第 n 个三角形数是开始的 n 个自然数的和所有大于 3 的三角形数都不是质数开始的 n 个立方数的和是第 n 个三角形数的平方（举例：1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 102）所有三角形数的倒数之和是 2。

任何三角形数乘以 8 再加 1 是一个平方数一部分三角形数（3、10、21、36、55、78……）可以用以下这个公式来表示：n * (2n + 1)；而剩下的另一部分（ 1、6 、15、28、45、66……）则可以用 n * (2n - 1)来表示一种检验正整数 x 是否三角形数的方法，是计算：【√（8x+1 ）-1】/2如果 n 是整数，那么 x 就是第 n 个三角形数如果 n 不是整数，那么 x 不是三角形数这个检验法是基于恒等式 8Tn + 1 = S2n + 1.特殊的三角形数55、5,050、500,500、50,005,000……都是三角形数第 11 个三角形数（66）、第 1111 个三角形数（617,716 ）、第 111,111 个三角形数（6,172,882,716）、第 11,111,111 个三角形数（61,728,399,382,716 ）都是回文式的三角形数，但第 111 个、第 11,111 个和第 1,111,111 个三角形数不是和其他数的关系四面体数是三角形数在立体的推广两个相继的三角形数之和是平方数三角平方数是同时为三角形数和平方数的数三角形数属於一种多边形数。

所有偶完美数都是三角形数任何自然数是最多三个三角形数的和高斯发现了这个规律他在 1796 年 7 月 10 日在日记中写道：EYPHKA! num = Δ + Δ + Δ三角形数还有一个规律，就是：如果将所有边形的数都整整齐齐地由左到右画在表格里，你就会发现，每一列的数间隔都一样，而且均为前一列的三角形数，例如：三角形数 1 3 6 10 15 21 28 36正方形数 1 4 9 16 25 36 49 64五边形数 1 5 12 22 35 51 70 92六边形数 1 6 15 28 45 66 91 1204构成图o n=1 s=1o o n=2 s=3o o o n=3 s=6o o o o n=4 s=10o o o o o n=5 s=15……根据自然数列的求和公式，对于第 n 项的三角形数，可以得到其计算公式为：s(n)=1+2+3+...+n=n*(n+1)/2应用1)前 n 个三角形数的和:T(n)=s(1)+s(2)+...+s(n)由 s(n)=n*(n+1)/2=(n^2+n)/2得到:T(n)=(∑n^2+∑n)/2=[n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2]/2=n(n+1)(n+2)/6.2)判断一个数是否为三角形数:对任给一个正整数 K,则若为三角形数,有:n*(n+1)/2=K 得:n*(n+1)=2K从而:n<(2K)^(1/2)[即 2K 开根号]

它们按照一定的规律排成了三角形想一想：能不能把 9 个圆点按上面的规律排成一个三角形？ 9 是不是三角形数？再想一想：能不能把 25 个圆点按上面的规律排成一个三角形？25 是不是三角形数？为了能方便地看出规律，我们把三角形数改排成图观察这些三角形数，你发现它们有什么规律吗？原来三角形数是从 l 开始的连续自然数的和 l 是第一个三角形数， 3 是第二个三角形数，6 是第三个三角形数， 10 是第四个三角形数， 15 是第五个三角形数……那么，第七个三角形数就是：1+2+3+4+5+6+7=28 ；第九个三角形数就是：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；第十个三角形数就是：1+2+3+…+10=55 ；第 100 个三角形数就是：1+2+3+…+100=5050 一.num=△+△+ △1796 年 7 月 10 日,数学家高斯在日记中写道：ErPHKA!num=△+△+△这里 ErPHKA 是希腊文“发现”或“找到”的意思，高斯的引用了当年阿基米德发现浮力定理时说的话，可见他兴奋心情高斯到底发现了什么?什么使他如此兴奋?原来他找到了“自然数可表示为三个三角形数之和”的证明（num 为数的缩写，△表示三角形数） 。

　据说此前法国数学家费马曾猜测：每个自然数皆可用 k 个 k 角形数和表示对于四角形数的问题,我们稍后再谈 1831 年法国数学家柯西在巴黎科学院宣读了他的论文,论文给出自然数皆可用 k 个 k 角形数和表示的证明 ）54.宇宙奇异数字密码142857 我们把它从 1 乘到 6 看看142857 X 1 = 142857142857 X 2 = 285714142857 X 3 = 428571142857 X 4 = 571428142857 X 5 = 714285142857 X 6 = 857142同样的数字，只是调换了位置，反复的出现那么把它乘与 7 是多少呢？我们会惊人的发现是 999999而 142 + 857 = 99914 + 28 + 57 = 99最后，我们用 142857 乘与 142857答案是：20408122449 前五位 +上后六位的得数是多少呢？20408 + 122449 = 142857关于其中神奇的解答“142857”它发现于埃及金字塔内， 它是一组神奇数字， 它证明一星期有 7 天， 它自我累加一次，就由它的 6 个数字，依顺序轮值一次， 到了第 7 天，它们就放假，由 999999 去代班， 数字越加越大，每超过一星期轮回，每个数字需要分身一次， 你不需要计算机，只要知道它的分身方法，就可以知道继续累加的答案， 它还有更神奇的地方等待你去发掘！ 也许，它就是宇宙的密码， 如果您发现了它的真正神奇秘密┅┅142857×1＝142857 （原数字）142857×2＝285714 （轮值）142857×3＝428571 （轮值）142857×4＝571428 （轮值）142857×5＝714285 （轮值）142857×6＝857142 （轮值）142857×7＝999999 （放假由 9 代班）142857×8＝1142856（7 分身，即分为头一个数字 1 与尾数 6，数列内少了 7）142857×9＝1285713（4 分身）142857×10＝ 1428570（1 分身）142857×11＝ 1571427（8 分身）142857×12＝ 1714284（5 分身）142857×13＝ 1857141（2 分身）142857×14＝ 1999998（9 也需要分身变大）继续算下去…… 6以上各数的单数和都是“9”。