概率论第六章

1、统计学的分科,统计学的分科,按统计方法的构成,按统计方法研究和应用,描述统计学,推断统计学,理论统计学,应用统计学,描述统计学(Descriptive Statistics) 研究如何取得反映客观现象的数据，并通过图表形式对所收集的数据进行加工处理和显示，进而通过综合、概括与分析得出反映客观现象的规律性数量特征。 主要内容: -统计数据的收集方法； -数据的加工处理方法； -数据的显示方法； -数据分布特征的概括与分析方法等。,推断统计学(Inferential Statistics) 研究如何根据样本数据去推断总体数量特征的方法，它是在对样本数据进行描述的基础上，对统计总体的未知数量特征作出以概率形式表述的推断。,统计方法,描述统计学,推断统计学,统计学的基础,现代统计学的主要内容,(二) 理论统计学和应用统计学,理论统计学(Theoretical Statistics) 指统计学的数学原理，它主要研究统计学的一般理论和统计方法的数学理论。 从事统计理论和方法研究的人员需要有坚实的数学基础。 由于概率论是统计推断的数学和理论基础，因而广义地讲统计学也应该包括概率论在内。,应用统计学(

2、Applied Statistics) 研究如何应用统计方法去解决实际问题。 由于在自然科学及社会科学研究领域中，都需要通过数据分析来解决实际问题，因而，统计方法的应用几乎扩展到了所有的科学研究领域。 应用统计学的不同分支所应用的基本统计方法都是一样的，即都是描述统计和推断统计的主要方法。但由于各应用领域都有其特殊性，统计方法在应用中又形成了一些不同的特点。,统计的应用领域,actuarial work (精算) agriculture (农业) animal science (动物学) anthropology (人类学) archaeology (考古学) auditing (审计学) crystallography (晶体学) demography (人口统计学 dentistry (牙医学) ecology (生态学) econometrics (经济计量学) education (教育学) election forecasting and projection (选举预测和策划) engineering (工程) epidemiology (流行病学) finance (金融

3、) fisheries research (水产渔业研究) gambling (赌博) genetics (遗传学) geography (地理学) geology (地质学) historical research (历史研究)human genetics (人类遗传学,统计的应用领域,hydrology (水文学) Industry (工业) linguistics (语言学) literature (文学) manpower planning (劳动力计划) management science (管理科学) marketing (市场营销学) medical diagnosis (医学诊断) meteorology (气象学) military science (军事科学) nuclear material safeguards (核材料安全管理) ophthalmology (眼科学) pharmaceutics (制药学) physics (物理学) political science (政治学) psychology (心理学) psychophysics (心理物理学)

4、 quality control (质量控制) religious studies (宗教研究) sociology (社会学) survey sampling (调查抽样) taxonomy (分类学) weather modification (气象改善),统计方法,描述统计,推断统计,假设检验,第六章 数理统计基础,基本概念 三个常见分布 正态总体下统计量的分布,数理统计不同于一般的资料统计,它更侧重于应用随机现象本身的规律性进行资料的收集、整理和分析。 因此，数理统计中的方法和支持这些方法的相应理论是相当丰富的；概括起来可以归纳成两大类： 参数估计: 根据数据，对分布中的未知参数进行估计; 假设检验: 根据数据，对分布的未知参数的某种假设 进行检验。 参数估计与假设检验构成了统计推断的两种基本形式，这两种推断渗透到了数理统计的每个分支。,总体、个体 一个统计问题总有它明确的研究对象. 总体：研究对象的全体； 个体：总体中每个成员; 总体的容量：总体中所包含的个体的个数。,数理统计中的几个概念,总体,有限总体,无限总体,例如: 研究某工厂生产的某种产品的废品率，则这种产品的全体就

5、是总体，而每件产品都是一个个体。 实际上，我们真正关心的并不一定是总体或个体本身，而是总体或个体的某一项或某几项数量指标。 如：某电子产品的使用寿命，某天的最高气温，加工出来的某零件的长度等数量指标。 因此，有时也将总体理解为那些研究对象的某项数量指标的全体。,对一个总体，如果用X 表示其数量指标。 由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指标的出现也带有随机性。所以，X 的值对不同的个体就取不同的值。因此，如果我们随机地抽取个体，则X 的值也就随着抽取个体的不同而不同。 所以，X 是一个随机变量! 既然总体是随机变量X，自然就有其概率分布。我们把X 的分布称为总体分布。 总体的特性是由总体分布来刻画的。因此，常把总体和总体分布视为同义语。,例：若研究某地区 N 个农户的年收人。 在这里，总体既指这 N 个农户，又指我们所关心的 N 个农户的数量指标他们的年收入( N 个数字)。 假定 N 户的年收入 X 只取以下各值: 0.5, 0.8, l.0, 1.2和1.5；取上述值的户数分别n1, n2, n3, n4和n5 (n1+n2+n3+n4+n5=N)。则X为离散型分布，分布律为

6、:,例：研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是寿命；那么，总体就可以用随机变量 X 表示，或用其分布函数F(x)表示。,总体,寿命 X 可用一概率 (指数)分布来刻画,鉴于此，常用随机变量的记号 或用其分布函数表示总体。如 说总体 X 或总体 F(x)。,寿命总体是指数分布总体,某批灯泡 的寿命,类似地，在研究某地区中学生的营养状况时 ，若关心的数量指标是身高和体重，我们用X 和Y 分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数 F(x,y)来表示.,统计中，总体这个概念的要旨 是：总体就是一个概率分布.,简单随机样本 总体分布一般是未知，或只知道是包含未知参数的分布 对总体进行研究的两种方法： 全面调查：如人口普查； 抽样调查：常用 按一定规则，从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息 ，这一抽取过程称为抽样，所抽取的部分个体称为样本，样本中所包含的个体数目称为样本容量。,简单随机样本 数理统计是利用样本信息，对总体进行分析、估计、推断；故要求样本应具有很好的代表性。 简单随机抽样：采用独立、重复的随机抽样； 而抽得的这n个个体称为一个简单

7、随机样本，常表示为 X1,X2, Xn 或者(X1,X2, Xn ) 样本在抽样前，是一个n维随机变量X1,X2, Xn ;在抽样后，是一组数据 x1,x2, xn ,称为样本的观测值，n为样本容量。,简单随机样本的性质 简单随机样本X1,X2, Xn来自于总体X，具有以下两条性质： 独立性： X1,X2,Xn相互独立 同分布性： X1,X2,Xn与总体X具有相同的分布,说明：当我们说到总体及样本时，既指研究对象又指它们的某项数量指标。,由样本推断总体的某些情况时，需要对样本进行“加工”，构造出若干个样本的已知(确定)的函数，其作用是把样本中所含的某一方面的信息集中起来。 把不含任何未知参数的样本的函数称为统计量，它是完全由样本所决定的量。 即称样本X1, ,Xn的函数g(X1, ,Xn)是总体X的一个统计量，如果g(X1, ,Xn)不含未知参数。,统计量,几个常见统计量,样本均值 样本方差 样本标准差,反映总体 均值的信息,反映总体 方差的信息,设总体为X，样本为X1, ,Xn，样本观测值为x1, ,xn,它们的观测值用相应的小写字母x1, ,xn表示,k=1,2, ,反映总体 k

8、阶矩的信息,反映总体k 阶 中心矩的信息,样本 k 阶原点矩 样本 k 阶中心矩,几个常见统计量,它们的观测值用相应的小写字母x1, ,xn表示,总体均值E(X)是常数，而样本均值 是随机变量，是两个不同的概念，不能混淆；当然两者之间有一定的关系。 同样，总体方差D(X)与样本方差 S2、总体矩与样本矩也是不同的概念。 一些关系式：,几点说明:,数理统计中常用的分布除正态分布外，还有三个非常有用的连续型分布，即,数理统计的三大分布(都是连续型),它们都与正态分布有密切的联系,！,在本章中特别要求掌握对正态分布、2分布、t 分布、F 分布的一些结论的熟练运用. 它们是后面各章的基础.,数理统计中常用的三个分布,2分布 构造：设 X1, X2, , Xn 相互独立，且都服从标准正态分布 N(0, 1), 则称随机变量 服从自由度为 n 的卡方分布，记成X 2(n)；反之，若X 2(n)，则X可以分解成 n 个相互独立的标准正态随机变量的平方和。,数理统计中常用的三个分布,自由度是指独立随机变量的个数：df=n,图形：2分布的概率密度函数 f(x) 曲线,2分布,图形随自由度的 不同而有所改

9、变,性质： 期望与方差：若X 2(n)，则 E(X)=n，D(X)=2n 可加性：若X 2(n)，Y 2(m) ,且相互独立，则 X + Y 2(n+m ) 补充：设X1,X2,Xn为取自正态总体XN( , 2)的样本，则,2分布,注：由中心极限定理可以推出, n 充分大时， 近似于标准正态分布 N(0,1)。,分位点：设X 2(n)，若对于：01，满足 的点 2(n)为2分布的上侧分位点。,2分布,2分布的单侧分位点2(n):,2分布的双侧分位点：P(aXb)= 1-,2分布,t 分布 构造：若XN(0, 1), Y2(n), X与Y独立，则称随机变量 服从自由度为 n 的t 分布，记成T t(n)； 反之，若T t(n) ，则有相互独立的XN(0, 1), Y2(n)，使,数理统计中常用的三个分布,图形：t 分布的概率密度函数 f (x) 曲线,t 分布,图形随自由度的 不同而有所改变,性质： 极限分布： 即t分布的极限分布是标准正态分布 期望和方差：若X t(n)，则 E(X)=0，因为f (x)关于y 轴对称； D(X)1，因为t 分布的概率密度比标准正态分布的图形要平坦一些 当n45时，可用N(0,1)代替t分布,t 分布,单侧分位点：设X t(n)，若对于：01，满足 的点 t (n)为t分布的上侧分位点,t 分布,双侧分位点：设X t(n)，若满足 P(aXb)= 1-,注:,t 分布,F 分布 构造：若X2(n1), , Y2(n2), X与Y独立，则称随机变量 服从第一自由度为n1 ，第二自由度为n2的F分布，记成F F(n1,n2)； 反之，若F F(n1,n2) ，则有相

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