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结构动力学哈工大版课后习题解答

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文档编号：131305749

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常见问题

1、第一章单自由度系统1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。1、牛顿第二定律法适用范围：所有的单自由度系统的振动。解题步骤：（1）对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；（2）利用牛顿第二定律,得到系统的运动微分方程；（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。2、动量距定理法适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。解题步骤：（1）对系统进行受力分析和动量距分析；（2）利用动量距定理J,得到系统的运动微分方程；（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。3、拉格朗日方程法：适用范围：所有的单自由度系统的振动。解题步骤：（1）设系统的广义坐标为，写出系统对于坐标的动能T和势能U的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ；（2）由格朗日方程=0，得到系统的运动微分方程；（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。4、能量守恒定理法适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。解题步骤：

2、（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T和势能U的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const对时间求导得零,即，进一步得到系统的运动微分方程；（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。方法一：衰减曲线法。求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值、。（2）由对数衰减率定义，进一步推导有，因为较小，所以有。方法二：共振法求单自由度系统的阻尼比。（1）通过实验，绘出系统的幅频曲线，如下图：单自由度系统的幅频曲线（2）分析以上幅频曲线图，得到：；于是；进一步；最后；1.3 叙述用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法有两个：幅频（相频）曲线法和功率法。方法一：幅频（相频）曲线法当单自由度系统在正弦激励作用下其稳态响应为：,其中：； (1) (2)从实验所得的幅

3、频曲线和相频曲线图上查的相关差数，由上述（1），（2）式求得阻尼比。方法二：功率法：（1）单自由度系统在作用下的振动过程中，在一个周期内，弹性力作功为、阻尼力做功为、激振力做作功为；（2）由机械能守恒定理得，弹性力、阻尼力和激振力在一个周期内所作功为零，即： +；于是 - 进一步得：；（3）当时，则，得 , 。m图1-33（a）1.4 求图1-35中标出参数的系统的固有频率。（a）此系统相当于两个弹簧串联，弹簧刚度为k1、简支梁刚度为；等效刚度为k;则有；则固有频率为：；图1-33（b）m（b）此系统相当于两个弹簧并联, 等效刚度为: ; 则固有频率为: m图1-33（c）(c)系统的等效刚度则系统的固有频率为图1-33（d）m（d）由动量距定理得：（）= 得：，则。 1.5 求下图所示系统的固有频率。图中匀质轮A半径R,重物B的重量为P/2,弹簧刚度为k. 图1-34AB0x 解：以为广义坐标，则系统的动能为系统的势能为：；拉格朗日函数为L=T-U ;由拉格朗日方程得则，=所以：系统的固有频率为图1-35RM1.6求图1-35所示

4、系统的固有频率。图中磙子半径为R，质量为M，作纯滚动。弹簧刚度为K 。解：磙子作平面运动，其动能T=T平动 +T转动。；而势能；系统机械能;由得系统运动微分方程；得系统的固有频率； 1.7求图1-36所示齿轮系统的固有频率。已知齿轮A的质量为mA，半径为rA，齿轮B的质量为mB，半径为rB,杆AC的扭转刚度为KA, ,杆BD的扭转刚度为KB, 解：由齿轮转速之间的关系得角速度；转角；系统的动能为：D（c）AB图1-36C；系统的势能为：; 系统的机械能为；由得系统运动微分方程；因此系统的固有频率为：；1.8已知图所示振动系统中，匀质杆长为，质量为m，两弹簧刚度皆为K，阻尼系数为C，求当初始条件时（）的稳态解；（）的解；解：利用动量矩定理建立系统运动微分方程；而；得；化简得 (1)(1)求的稳态解；将代入方程（1）得（2）令得（3）设方程（3）的稳态解为（4）将（4）式代入方程（3）可以求得：；；(2)求的解；将代入方程（1）得（5）令得（6）方程（6）成为求有阻尼的单自由度系统对于脉冲激励的响应。由方程（6）可以得到初始加速度；然后

5、积分求初始速度；再积分求初位移；这样方程（6）的解就是系统对于初始条件、和的瞬态响应；将其代入方程（6）可以求得：最后得1.9图所示盒内有一弹簧振子，其质量为m，阻尼为C，刚度为K，处于静止状态，方盒距地面高度为H，求方盒自由落下与地面粘住后弹簧振子的振动历程及振动频率。解：因为在自由落体过程中弹簧无变形，所以振子与盒子之间无相对位移。在粘地瞬间，由机械能守恒定理的振子的初速度；k/2c mk/2H图1-38底版与地面粘住后，弹簧振子的振动是对于初速度的主动隔振系统的运动微分方程为：；或或系统的运动方程是对于初始条件的响应：；；；k/2ck/2y(t)y my图1-391.10汽车以速度V在水平路面行使。其单自由度模型如图。设m、k、c已知。路面波动情况可以用正弦函数y=hsin(at)表示。求：（1）建立汽车上下振动的数学模型；（2）汽车振动的稳态解。解：（1）建立汽车上下振动的数学模型；由题意可以列出其运动方程：其中：表示路面波动情况；1表示汽车上下波动位移。将其整理为： (1) 将代入得 (2)汽车振动的稳态解: 设稳态响应为：代入系统运动微分方程（1）可解得：；1.11.若电磁激振力可写为，求将其作用在参数为m、 k、 c的弹簧振子上的稳态响应。解：首先将此激振力按照傅里叶级数展开：其中：；因为是偶函数，所以。于是而；式中；1.12.若流体的阻尼力可写为,求其等效粘性阻尼。解：（1）流体的阻尼力为；（2）设位移为，而；（3）流体的阻尼力的元功为；（4）流体的阻尼力在一个振动周期之内所消耗的能量为：

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