流体力学第一章 数学基础

1、高等流体力学高等流体力学 第一章 预备知识场论与第章 预备知识场论与 正交曲线坐标正交曲线坐标 场：具有物理量的空间 物理量 ()=fR t空间位置， 物理量 ()fR t空间位置， 1.1 向量及张量的基 本运算 一向量运算符号规定、向量运算符号规定 1、爱因斯坦（Einstein）求和符号 定义：数学式子中任一项出现一对符号相同的 指标（哑指标） 如： a=a+a+aeeee 如： i i1 12 23 3 a=a+a+aeeee () kbkkb +b +b +3k+ () 12 1 12 23 3 i ijj12 k abk=k a b +a b +a b +3k+e e i 克罗内尔符号2、克罗内尔（Kronecker）符号 定义：任意两个正交单位向量点积用表示 ij ijij 1i= j = = e e i =1 2 3ij， ijij 0ij 1 2 3ij， 3、置换符号 任意两个正交单位向量叉积可表示为 eeee= 式中称为置换符号，又称利西（Ricci）符号 ijijk k eeee= ijk e j 0ijk23中有 个或 个自由指标值相同0ijk23 1ijk1

2、23123 ijk e = ， ， 中有 个或 个自由指标值相同 ， ， 中按顺序任取 个排列 1 ijk132133 ， ， 中按顺序任取 个排列 向量算公式二、向量运算公式 =ab=ababab=eee eiiia b () bbeeeb i ijjij ijij iji i ababababeee ea b ()ii i ii ii =ab= abeeea b bbb i ijjij ij =ab=ab eeeea b 123 eee 123 123 ij ijk k ab eaaa bbb = eee e 123 bbb ()()() jjkkjk i iij k i abcab c ab ceab c eab c e = = ceeeeee ee iii i a b 123 ij k ijkl lij kjkiij k ijk ab ceab c eab c e =eei aaa 123 123 bbb ccc = 123 () ()() () =iiiia b ca b cc a bc a b () ()() iiab c = a c ba b c () () ()() (

3、)() =iiiiia bc da cb db ca d 三、向量分量的坐标变换 =aaeea i iii =aa =eea aa ee 和分别为在两个不同的正交坐标系中的 分量和坐标轴单位向量，各单位向量间的夹角余弦（即方 向余弦）为 ii aa ， ii ee， a (1 2 3)lmnj =向余弦）为(1 2 3) jjj lmnj =， 各坐标轴方向余弦 123 eee ()() 1 2 3 ii ii iii aaai= , , =e ee eii 123 e 123 l l l mmm 1 e e ()() 1 2 3 ii iiiii aaai= , , =e ee eii 1 2 e e 123 123 m m m n n n 2 3 e e 3 e 例如： ()()() lll 阶的基本算 ()()()112131 11231 12 23 3 aaaalal al a =+=+e ee ee eiii 四、二阶张量的基本运算 表示为： 二阶张量是两个向量的并积 表示为： () Bj 1 2 3 i ijjij ijij ij a cacbi= , , =eeeeee，

4、ac= ！ ijj i eee e 1二阶张量的基本运算规则1、二阶张量的基本运算规则 ()ijij ij abc d eeab cd = ()()() c=c=c=ciiiia ba bb ab a ()()() iiii ab cd =a b c d = b c ad =ad c b ()() ()() ()() b db db dd b ()() ()() ()() =iiiiiiiic ab d = c ab db dc ad ba c () ab c=a b c 2、二阶张量分量的坐标变换 () ab c=a b c 2、二阶张量分量的坐标变换 B= ij iji jij bb = eee e ij iji jij ()()() bbb ()()()ij ijiijj i jijij bbb =ee eee eeeiiii () j 1 2 3i= , , ， ()()()i jijiijj ijiji j bbb =ee eee ee eiiii()j 1 2 3i= , , ， 例如： ()()() jjj ()()()()()() ()()()()()() 112111

5、221123 1 2111213 bbbb bbb =+ + e eeee eeee eee e eeee eeee eee iiiiii iiiiii()()()()()() ()()()()()() 211221221222231223 311321321322331323 bbb bbb + + e eeee eeee eee e eeee eeee eee iiiiii iiiiii 11 1112 1213 132 l mbl m bl m bl =+ 1 2122 2223 23 31 3132 3233 33 mbl m bl m b l mbl m bl m b + + 31 3132 3233 33 l mbl m bl m b + 3、二阶张量的一些性质 1）对称张量： ijji pp= 2）反对称张量：ijji pp= ijji ）反对称张量 3）两个张量相加减得一新的张量：对应分量相加减 ijji 3）两个张量相加减得新的张量：对应分量相加减 4）任何一个二阶张量均可表示成为一个对称二阶张 量和一反对称二阶张量之和。量和反对称二阶张量之和。 11 ()() ij

6、ijjiijji TTTTT=+ 5）二阶单位张量 ()() 22 ijijjiijji TTTTT+ 5）二阶单位张量： ij 1.2 物理量的梯度、散 度与旋度 物的梯度一、物理量的梯度 物理量的梯度用来描述该物理量在点邻域内的变化情况 1标量梯度的定义性质 物理量的梯度用来描述该物理量在一点邻域内的变化情况 1、标量梯度的定义、性质 定义：标量沿的方向导数为 l e coscoscos lxyz =+ 在直角坐标系中的梯度 grad xyz =+ ijk lxyz xyz 重要性质： （1） （ ）为等值面法线指向增大方向 grad l l = i，egradd= i，dl （2），为等值面法线指向增大方向 的单位向量，由梯度求得等值面法线方向的单位向量 grad n n = e n e 的单位向量，由梯度求得等值面法线方向的单位向量 为： grad grad grad 2、向量梯度的定义、性质 定义个阶满为向 aa 定义：一个二阶张量，处处满足，为向量 沿方向的方向导数，则定义为向量的梯度， Bl l i a e B= a l a l e Bagrada 在直角坐标系中 gra

7、d+ + aaa a=ijk g 性质： xyz grad i a ea= gradddi la= a 性质 物理量的散度 grad l l ea gradddi la= a 二、物理量的散度 物理量的散度可用来判别场是否有源 1向量的散度的定义 物理量的散度可用来判别场是否有源 1、向量的散度的定义 如： Q=ddi vs 直角坐标系中： ()()() coscoscosddsxdsydsz+，s=ninjnk ()()() coscoscosddsxdsydsz dydzdxdzdxdy +，s=n in jn k =i+j+k 而通量a dsddydz+dxdz+dxdy= i ? =asaaa xyz aaaa=i+j+k 而通量 由高斯公式得 nnxyz a dsddydz+dxdz+dxdy= i ? ss =asaaa nxy da dydz+ a dxdz+ a dxdy= i ?a s 由高斯公式得：nxyz da dydza dxdza dxdy ? s as y xz a aa d =+ V 则有 xyz div y xz + a aa a= 则有 div xyz

8、 + a= 流体力学中速度uvwV = i+ j+k 速度散度 div uvw xy + V = 度散度 2二阶张量的散度 xyz 2、二阶张量的散度 直角坐标系中则有B=b i+b j+b kdiv y xz +B b bb =直角坐标系中则有 xyz B=b i+b j+b kdiv y xz xyz + B= 流体力学中 xyz P= p i+ p j+ p k 则应力张量散度 y div y xz +P p pp = 则应力张量散度 xyz 3、有源场与无源场 如果散度处处为零，则称场是无源场，否则是有源场 例2：求在直角坐标系中的表达式， 其中 () div PiV +uvwVijk 其中 xyzxxxyxz pppP= p i+ p j+ p k=ii+ij+ik =+uvwVijk xyzxxxyxz yxyyyzzxzyzz pppppp +ji+jj+jk+ki+kj+kk 解： () div PiV() div ij ijk k pV=ie ee () div ijk ijk p V=e () div ijj i p V=e () () () xxxyxz p u+p v+p w x = ()yxyyyz p u+p v+p w y + () () zxzyzz p u p v p z + 三物理量的旋度三、物理量的旋度 物理量的旋度可用来判别场是否有旋 1、向量旋度的定义 物理量的旋度可用来判别场是否有旋 、向量旋度的定义 环量 l d= i ? Vl x ll ddxdy+dz=+ i ? alaaa环量 由斯托克斯（Stokes）公式，的旋度可表示为： l d ? Vl x yzll y a由斯托克斯（Stokes）公式，的旋度可表示为：a aa aaaa ijk rot yy xxzz yzzxxy aa aaaa a=i+ j+k xyz xyz = aaa xyz 流体力学中速度旋度为： wvuwvu yzzxxy V =i+ j+k 2、有旋场和

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