《选修42第一节》ppt课件
36页1、选修4-2 矩阵与变换 第一节 平面上的变换与矩阵,1.线性变换的相关概念 一般地,如果变换T:P(x,y) ,P(x,y)前后坐标之间 的关系具有如下的形式: _,也就是x,y都是x,y的常数项为0的一次函数, 则称变换T为线性变换,写成 的形式.,_,_,2.矩阵的相关概念 (1)由4个数a,b,c,d排成的2行2列的数表_称为2行2列的 矩阵,也称为22矩阵,通常用大写字母A、B、C、表示. (2)矩阵与列向量的乘法: .,【即时应用】 (1)思考:22矩阵与列向量的乘法规则是什么? 提示:22矩阵与列向量的乘法规则是矩阵的每一行的系数与列向量的两个变量分别相乘再相加得到一个新的列向量.,(2) =_. 【解析】 答案:,(3)已知 ,则 =_. 【解析】由条件得 ,解得 , 从而 答案:,3.逆变换与可逆变换 (1)逆变换 若T:P T(P),则M:_. 若M:Q M(Q),则T:_. 则称M为T的逆变换,记作:M=_. 同样T也是M的逆变换,记作:T=M-1. 因此(T-1)-1=_,(M-1)-1=_.,T(P) P,M(Q) Q,T-1,T,M,(2)可逆变换 若变换T满
2、足平面上不同的点被变换T变到_;变 换T将平面变到_,即平面上每一个点Q都是平面上某 一点P的_,则称变换T为可逆变换,可逆变换一定有逆 变换.,不同的点,整个平面,像T(P),【即时应用】 若变换T是将平面内的点逆时针旋转 ,则变换T-1对应的矩 阵为_. 【解析】由题意 答案:,4.常见变换对应的矩阵 (1)旋转变换 绕原点O按逆时针方向旋转角: (2)伸缩变换:在直角坐标系xOy内,将每个点的纵坐标变为 原来的k(k0)倍的伸缩变换的矩阵为 将每个点的 横坐标变为原来的k(k0)倍的伸缩变换的矩阵为 将 每个点的横坐标变为原来的k1倍,纵坐标变为原来的k2倍(k1,k2 0)的伸缩变换的矩阵为,(3)反射变换 关于直线Ax+By=0的反射的矩阵 (4)位似变换 位似中心为O,相似比为k,使 的矩阵为 (5)投影变换 平面到直线l:Ax+By=0的投影变换的矩阵,【即时应用】 (1)在平面直角坐标系xOy内,将每个点的横坐标变为原来的2 倍,将每个点的纵坐标变为原来的 倍,该变换对应的矩阵为_. (2)关于直线x-2y=0的反射变换的矩阵为_. (3)函数y= 在旋转变换 作用下得
3、到的新曲线的 方程为_.,【解析】(1)由伸缩变换方法易得所求矩阵为 (2)A=1,B=-2,,(3)设新曲线上任意点(x,y), 由 得 ,从而 代入y= 得y2-x2=2,即新曲线的方程为y2-x2=2.,答案:(1) (2) (3)y2-x2=2,热点考向 1 线性变换与矩阵 【方法点睛】 线性变换及其矩阵 平面内的线性变换都对应着相应的二阶矩阵,而任何一个二阶矩阵都对应着相应的线性变换,关键是要熟悉常见的线性变换的二阶矩阵,在此基础上才能灵活运用.,【例1】写出关于直线 的反射的矩阵. 【解题指南】代入反射变换的矩阵公式,通过计算求矩阵. 【规范解答】关于直线Ax+By=0的反射的矩阵为 将直线方程变为x-3y=0, A=1,B=-3,,关于直线 的反射的矩阵为,【互动探究】试写出平面到直线 的投影变换的矩阵. 【解析】平面到直线Ax+By=0的投影变换的矩阵为 将直线方程化为x-3y=0,A=1,B=-3, 平面到直线 的投影变换的矩阵为,【反思感悟】1.根据本题可知,求线性变换的矩阵关键是公式的应用. 2.在应用公式求线性变换的矩阵时,特别注意矩阵元素的结构,不要代错.,热
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