3.1.1 两角差的余弦公式

1、3.1 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式 3.1 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式 1.1.在三角函数中，我们学习了哪些基本 的三角函数公式？ 在三角函数中，我们学习了哪些基本 的三角函数公式？ 2.2.对于30，45，60等特殊角的三角 函数值可以直接写出， 对于30，45，60等特殊角的三角 函数值可以直接写出，利用诱导公式还 可进一步求出150，210，315等角的 三角函数值 利用诱导公式还 可进一步求出150，210，315等角的 三角函数值. . 问题提出问题提出 我们希望再引进一些公式，我们希望再引进一些公式，能够求更多 的非特殊角的三角函数值 能够求更多 的非特殊角的三角函数值，同时也为三 角恒等变换提供理论依据. ，同时也为三 角恒等变换提供理论依据. 3.若已知若已知,的三角函数值，那么的三角函数值，那么 cos(-)的值是否确定？的值是否确定？ cos(-)与与,的三角函数值有什么 关系？ 的三角函数值有什么 关系？ 探究（一）：探究（一）：两角差的余弦公式两角差的余弦公式 思考1：思考1：设，为两个

2、任意角, 你能 判断cos(-)cos-cos恒成立 吗? 设，为两个任意角, 你能 判断cos(-)cos-cos恒成立 吗? cos(3030)cos30cos30cos(3030)cos30cos30 sin60sin120cos60cos120cos( (120 -60) sin30 sin60 cos30 cos60 cos( (60 -30) 3 2 3 2 3 2 3 2 1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 2 1 思考2：思考2：我们设想cos()的值与 ，的三角函数值有一定关系，观察 下表中的数据，你有什么发现？ 我们设想cos()的值与 ，的三角函数值有一定关系，观察 下表中的数据，你有什么发现？ 思考3：思考3：一般地，你猜想cos()等 于什么？ 一般地，你猜想cos()等 于什么？ cos(-)coscossinsincos(-)coscossinsin 思考4：思考4：如图，设,为锐角，且, 角的终边与单位圆的交点为P 如图，设,为锐角，且, 角的终边与单位圆的交点为P1 1, P , P1 1OP，那么cos()表示哪条 线段长？ OP，那么cos()

3、表示哪条 线段长？ M P P1 Ox y cos()=OMcos()=OM 思考5：思考5：如何用线段分别表示sin和 cos？ 如何用线段分别表示sin和 cos？ P P1 Ox y A A sinsin cos cos=OA cos cos=OA sin=APsin=AP 思考6：思考6：coscosOAcoscoscosOAcos，它表示 哪条线段长？ ，它表示 哪条线段长？ sinsinPAsinsinsinPAsin，它表示哪条线段 长？ ，它表示哪条线段 长？ P P1 Ox y A A sinsinsinsin coscoscoscos B B C C cos=OA sin=AP cos=OA sin=AP 思考7：思考7：利用OMOBBMOBCP可得什 么结论？ 利用OMOBBMOBCP可得什 么结论？ sinsinsinsin coscoscoscos P P1 Ox y A A B B C C M M cos(-)coscos+sinsincos(-)coscos+sinsin x y P P1 M B x y P P1 M BO A O A C C cosco

4、ssinsin + 1 1 1 1 思考8：思考8：上述推理能说明对任意角， ，都有 上述推理能说明对任意角， ，都有 cos(cos(- -)coscos)coscos+ +sinsinsinsin 成立吗？成立吗？ 可在单位圆中用两点距离公式或向量法 来证明 可在单位圆中用两点距离公式或向量法 来证明 思考思考9： cos(- -)= =coscos+ +sinsin 称为称为差角的余弦公式差角的余弦公式，记作，该 公式有什么特点？如何记忆？ ，记作，该 公式有什么特点？如何记忆？ C 思考10：思考10：试用差角的余弦公式推导下列 诱导公式. 试用差角的余弦公式推导下列 诱导公式. cos()sin. 2 = 3 cos() 2 += 3 cos() 2 你会求 cos(+)吗？你会求 cos(+)吗？ cos(cos(+ +)= = coscos- -(-)(-) 探究（二）：探究（二）：两角差的余弦公式的变通两角差的余弦公式的变通 思考1：思考1：若已知和的三角函数 值，如何求cos的值？ 若已知和的三角函数 值，如何求cos的值？ coscos(+)-coscos(+)-

5、思考2：思考2：利用()可得 cos等于什么？ 利用()可得 cos等于什么？ cos=cos(-)- =cos(+) cos+sin(+)sin. =cos(-)cos+sin(-)sin. cos=cos(-)- =cos(+) cos+sin(+)sin. =cos(-)cos+sin(-)sin. 思考3：思考3：若cos+cos=若cos+cos=a，sin+sin = ，sin+sin =b b，则cos()等于什么？，则cos()等于什么？ 22 2 cos() 2 ab + = 思考4：思考4：若cos-cos=若cos-cos=a,sin-sin = ,sin-sin =b b, 则cos(-)等于什么？, 则cos(-)等于什么？ 2 2 )cos( 22 ba = 例1例1 利用差角的余弦公式求cos15的值. 利用差角的余弦公式求cos15的值. 例2例2 已知 是第三象限角,求cos(-)的值. 已知 是第三象限角,求cos(-)的值. 4 in, 5 s=, 2 ， 5 cos, 13 = 理论迁移理论迁移 例3例3 已知 且, 求的值. 已知 且, 求的值. 1 cos()cossin()sin, 3 += )cos( 4 3 ,2 2 小结小结 2.2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角 的余弦（或正弦）值时, 要注意该角所在的 象限，从而确定该角的三角函数值符号. 已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角 的余弦（或正弦）值时, 要注意该角所在的 象限，从而确定该角的三角函数值符号. 1.1.在差角的余弦公式中，既可以 是单角，也可以是复角，运用时要注意 角的变换，如， 在差角的余弦公式中，既可以 是单角，也可以是复角，运用时要注意 角的变换，如，2()()2()() 等. 同时，公式的应用具有 灵活性，解题时要注意正向、逆向和变 式形式的选择. 等. 同时，公式的应用具有 灵活性，解题时要注意正向、逆向和变 式形式的选择. () 66 =+ 作业：作业：P137 习题习题3.1 A组：组：2，3，4，5

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