轨迹方程求法及经典例题汇总
36页1、轨迹方程求法及经典例题汇总轨迹方程求法及经典例题汇总 一、轨迹为圆的例题: 1、 必修 2 课本 P124B 组 2:长为 2a 的线段的两个端点在轴和轴上移动,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程:xy 必修 2 课本 P124B 组:已知 M 与两个定点(0,0) ,A(3,0)的距离之比为,求点 M 的轨迹方程;(一般地:必修 2 2 1 课本 P144B 组 2:已知点 M(,)与两个定点的距离之比为一个常数;讨论点 M(,)的轨迹方程(分xy 21,M Mmxy =1,与1 进行讨论)mm 2、 必修 2 课本 P122例 5:线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ,端点 A 在圆 上运动,求 AB 的中点 M 的轨迹。1) 1( 22 yx (2013 新课标 2 卷文 20)在平面直角坐标系中,已知圆在轴上截得线段xOyPx 长为,在轴上截得线段长为。 (1)求圆心的的轨迹方程;22y32P (2)若点到直线的距离为,求圆的方程。Pxy 2 2 P 如图所示,已知 P(4,0)是圆 x2+y2=36 内的一点,A、B 是圆上两动点,且满足APB=90,求 矩形 AP
2、BQ 的顶点 Q 的轨迹方程. 解:设 AB 的中点为 R,坐标为(x,y),则在 RtABP 中,|AR|=|PR|.又因为 R 是弦 AB 的中点, 依垂径定理:在 RtOAR 中,|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有 22 )4(yx (x4)2+y2=36(x2+y2),即 x2+y24x10=0 因此点 R 在一个圆上,而当 R 在此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹上运 动. 设 Q(x,y),R(x1,y1),因为 R 是 PQ 的中点,所以 x1=,代入方程 x2+y24x10=0,得 2 0 , 2 4 1 y y x 10=0 整理得:x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程. 2 4 4) 2 () 2 4 ( 22 xyx 在平面直角坐标系中,点,直线设圆的半径为 ,圆心在 上 (1)若圆心也在xOy)3 , 0(A42:xylC1lC 直线上,过点作圆的切线,求切线的方程;1 xyAC (2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围CMMOMA2Ca (2013 陕西卷理 20)已知动圆过定点,且在轴上截得弦的长为 8
3、.)0 , 4(AyMN (1)求动圆圆心的轨迹的方程;C (2)已知点,设不垂直于轴的直线 与轨迹交于不同的两点,若轴是的角平分线,证)0 , 1(BxlCQP,xPBQ M B A 明直线 过定点。l 二、 椭圆类型: 3、定义法:(选修 2-1P50第 3 题)点 M(,)与定点 F(2,0)的距离和它到定直线的距离之比为,求点xy8x 2 1 M 的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义) 讨论:当这个比例常数不是小于 1,而是大于 1,或等于 1 是的情形呢?(对应双曲线,抛物线) 4、 圆锥曲线第一定义:(选修 2-1P50第 2 题)一个动圆与圆 外切,同时与圆内切,求056 22 xyx0916 22 xyx 动圆的圆心轨迹方程。 5、 圆锥曲线第一定义:点 M()圆上的一个动点, 点 00, y x 1 F9) 1( 22 yx (1,0)为定点。线段的垂直平分线与相交于点 Q(,),求点 2 F 2 MF 1 MFxy Q 的轨迹方程;(注意点(1,0)在圆内圆内) 2 F 6、 其他形式:(选修 2-1P50例 3)设点 A,B 的坐标分别是(-5,0) , (5,0) ,
4、直线 AM,BM 相交于点 M,且他们的 斜率的乘积为,求点 M 的轨迹方程:(是一个椭圆) 9 4 (讨论当他们的斜率的乘积为时可以得到双曲线) 9 4 (2013 新课标 1 卷 20)已知圆,圆,动圆与圆外切并且与圆内:M1) 1( 22 yx:N9) 1( 22 yxPMN 切,圆心的轨迹为曲线。 (1)求的方程; (2) 是与圆,圆都相切的一条直线, 与曲线交于PCClPMlC 两点,当圆的半径最长时,求BA,PAB (2013 陕西卷文 20)已知动点到直线的距离是它到点的距离的倍。),(yxM4:xl)0 , 1 (N2 (1)求动点的轨迹的方程MC (2)过点的直线与轨迹交于两点,若是的中点,求直线的斜率。)3 , 0(PmCBA,APBm Q F1 F2 M M F1F2 三、 双曲线类型: 8、圆锥曲线第一定义:点 M()圆上的一个动点, 00, y x 1 F1) 1( 22 yx 点(1,0)为定点。线段的垂直平分线与相交于点 Q(,),求点 2 F 2 MF 1 MFxy Q 的轨迹方程;(注意点(1,0)在圆外圆外) 2 F 定义法:(选修 2-1P59例
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