轨迹方程求法及经典例题汇总

轨迹方程求法及经典例题汇总轨迹方程求法及经典例题汇总 一、轨迹为圆的例题： 1、 必修 2 课本 P124B 组 2：长为 2a 的线段的两个端点在轴和轴上移动，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程：xy 必修 2 课本 P124B 组：已知 M 与两个定点（0,0） ，A（3,0）的距离之比为，求点 M 的轨迹方程;（一般地：必修 2 2 1 课本 P144B 组 2：已知点 M(,)与两个定点的距离之比为一个常数；讨论点 M(,)的轨迹方程（分xy 21,M Mmxy =1，与1 进行讨论）mm 2、 必修 2 课本 P122例 5：线段 AB 的端点 B 的坐标是（4,3） ，端点 A 在圆 上运动，求 AB 的中点 M 的轨迹。1) 1( 22 yx （2013 新课标 2 卷文 20）在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段xOyPx 长为，在轴上截得线段长为。 （1）求圆心的的轨迹方程；22y32P （2）若点到直线的距离为，求圆的方程。Pxy 2 2 P 如图所示，已知 P(4，0)是圆 x2+y2=36 内的一点，A、B 是圆上两动点，且满足APB=90°，求 矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程. 解：设 AB 的中点为 R，坐标为(x,y)，则在 RtABP 中，|AR|=|PR|.又因为 R 是弦 AB 的中点， 依垂径定理：在 RtOAR 中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有 22 )4(yx (x4)2+y2=36(x2+y2),即 x2+y24x10=0 因此点 R 在一个圆上，而当 R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运 动. 设 Q(x,y)，R(x1,y1)，因为 R 是 PQ 的中点，所以 x1=,代入方程 x2+y24x10=0,得 2 0 , 2 4 1 y y x 10=0 整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程. 2 4 4) 2 () 2 4 ( 22 xyx 在平面直角坐标系中，点，直线设圆的半径为 ，圆心在 上 （1）若圆心也在xOy)3 , 0(A42:xylC1lC 直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；1 xyAC （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围CMMOMA2Ca （2013 陕西卷理 20）已知动圆过定点，且在轴上截得弦的长为 8.)0 , 4(AyMN （1）求动圆圆心的轨迹的方程；C （2）已知点，设不垂直于轴的直线 与轨迹交于不同的两点，若轴是的角平分线，证)0 , 1(BxlCQP,xPBQ M B A 明直线 过定点。l 二、 椭圆类型： 3、定义法：（选修 2-1P50第 3 题）点 M(,)与定点 F(2，0)的距离和它到定直线的距离之比为，求点xy8x 2 1 M 的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义) 讨论：当这个比例常数不是小于 1，而是大于 1，或等于 1 是的情形呢？（对应双曲线，抛物线） 4、 圆锥曲线第一定义：（选修 2-1P50第 2 题）一个动圆与圆 外切，同时与圆内切，求056 22 xyx0916 22 xyx 动圆的圆心轨迹方程。 5、 圆锥曲线第一定义：点 M()圆上的一个动点, 点 00, y x 1 F9) 1( 22 yx （1,0）为定点。线段的垂直平分线与相交于点 Q(,),求点 2 F 2 MF 1 MFxy Q 的轨迹方程;(注意点（1,0）在圆内圆内) 2 F 6、 其他形式：（选修 2-1P50例 3）设点 A,B 的坐标分别是（-5,0） ， （5,0） ，直线 AM,BM 相交于点 M，且他们的 斜率的乘积为，求点 M 的轨迹方程:（是一个椭圆） 9 4 （讨论当他们的斜率的乘积为时可以得到双曲线） 9 4 （2013 新课标 1 卷 20）已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内:M1) 1( 22 yx:N9) 1( 22 yxPMN 切，圆心的轨迹为曲线。 （1）求的方程； （2） 是与圆，圆都相切的一条直线， 与曲线交于PCClPMlC 两点，当圆的半径最长时，求BA,PAB （2013 陕西卷文 20）已知动点到直线的距离是它到点的距离的倍。),(yxM4:xl)0 , 1 (N2 （1）求动点的轨迹的方程MC （2）过点的直线与轨迹交于两点，若是的中点，求直线的斜率。)3 , 0(PmCBA,APBm Q F1 F2 M M F1F2 三、 双曲线类型： 8、圆锥曲线第一定义：点 M()圆上的一个动点, 00, y x 1 F1) 1( 22 yx 点（1,0）为定点。线段的垂直平分线与相交于点 Q(,),求点 2 F 2 MF 1 MFxy Q 的轨迹方程;(注意点（1,0）在圆外圆外) 2 F 定义法：（选修 2-1P59例 5）点 M(,)与定点 F(5，0)的距离和它到定直线的距离之比为，求点 M 的轨迹xy 5 16 x 4 5 方程.(圆锥曲线第二定义) 四、 抛物线类型：10、定义法：（选修 2-1）点 M(,)与定点 F(2，0)的距离和它到定直线的距离相等，xy2x 求点 M 的轨迹方程。 （或：点 M(,)与定点 F(2，0)的距离比它到定直线的距离小 1，求点 M 的轨xy3x 迹方程。 ） （2013 陕西卷文 20）已知动点到直线的距离是它到点的距离的倍。 （1）求动点的),(yxM4:xl)0 , 1 (N2M 轨迹的方程C （2）过点的直线与轨迹交于两点，若是的中点，求直线的斜率)3 , 0(PmCBA,APBm 已知三点，曲线上任意一点满足(0,0)O( 2,1)A (2,1)BC( , )M x y 。|()2MAMBOMOAOB （1）求曲线的方程；C ）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的点均在 C2：（x-5）2y2=9 外，且对 C1上任意一点 M，M 到直线 x=2 的距离 等于该点与圆 C2上点的距离的最小值. （）求曲线 C1的方程； （湖北）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，点M在直线l上， 且满足丨DM丨=m丨DA丨（m0,且m1）。当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。 （I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标； （辽宁）如图，椭圆如图，椭圆：，a，b 为为 0 C 22 22 1(0 xy ab ab 常数常数)，动圆，动圆 ，。点。点分别为分别为的左，右的左，右 222 11 :Cxyt 1 bta 12 ,A A 0 C顶点，顶点，与与 1 C Q F1 F2 M 相交于相交于 A，B，C，D 四点。四点。 0 C ()求直线求直线与直线与直线交点交点 M 的轨迹方程的轨迹方程; ; 1 AA 2 A B （四川）如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。M( 1,0)A (2,0)BMAB2MBAMAB MC （）求轨迹的方程；C （）设直线与轴交于点，2yxm yP 与轨迹相交于点，且，CQR、| |PQPR 求的取值范围。 | | PR PQ 1.()已知椭圆的焦点是 F1、F2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长 F1P 到 Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点 Q 的轨迹是( ) A.圆B.椭圆 C.双曲线的一支D.抛物线 2.()设 A1、A2是椭圆=1 的长轴两个端点，P1、P2是垂直于 A1A2的弦的端点，则直线 A1P1与 49 22 yx A2P2交点的轨迹方程为( ) A.B. C.D.1 49 22 yx 1 49 22 xy 1 49 22 yx 1 49 22 xy 二、填空题 3.()ABC 中，A 为动点，B、C 为定点，B(,0),C(,0)，且满足条件 sinCsinB=sinA,则动点 A 的 2 a 2 a 2 1 轨迹方程为_. 4.()高为 5 m 和 3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距 10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为 A(5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_. 三、解答题 5.()已知 A、B、C 是直线 l 上的三点，且|AB|=|BC|=6，O切直线 l 于点 A，又过 B、C 作O异于 l 的两切线，设这两切线交于点 P，求点 P 的轨迹方程. 6.()双曲线=1 的实轴为 A1A2，点 P 是双曲线上的一个动点，引 A1QA1P，A2QA2P，A1Q 与 2 2 2 2 b y a x A2Q 的交点为 Q，求 Q 点的轨迹方程. 8.()已知椭圆=1(ab0),点 P 为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，F1PF2的外角平分线为 2 2 2 2 b y a x l，点 F2关于 l 的对称点为 Q，F2Q 交 l 于点 R. (1)当 P 点在椭圆上运动时，求 R 形成的轨迹方程； (2)设点 R 形成的曲线为 C，直线 l：y=k(x+a)与曲线 C 相交于 A、B 两点，当AOB 的面积取得最大值时，求2 k 的值. 一、1.解析：|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,动点 Q 到定点 F1的距离等于定 长 2a,故动点 Q 的轨迹是圆. 2.解析：设交点 P(x,y）,A1(3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,y0)A1、P1、P 共线，A2、P2、P 共 3 0 0 x y xx yy 线，解得 x0= 3 0 0 x y xx yy 1 49 , 1 49 , 3 , 9 22 2 0 2 0 0 yxyx x y y x 即代入得 二、3.解析：由 sinCsinB=sinA,得 cb=a,应为双曲线一支，且实轴长为,故方程为 2 1 2 1 2 a .) 4 ( 1 3 1616 2 2 2 2 a x a y a x 答案：) 4 ( 1 3 1616 2 2 2 2 a x a y a x 4.解析：设 P(x,y） ，依题意有,化简得 P 点轨迹方程为 4x2+4y285x+100=0. 2222 )5( 3 )5( 5 yxyx 答案：4x2+4y285x+100=0 三、5.解：设过 B、C 异于 l 的两切线分别切O于 D、E 两点，两切线交于点 P.由切线的性质知： |BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC| =|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|BC|，故由椭圆定义知，点 P 的轨迹是以 B、C 为两焦点的椭圆，以 l 所在的直线 为 x 轴，以 BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点 P 的轨迹方程为=1(y0) 7281 22 yx 6.解：设 P(x0,y0）(x±a),Q(x,y). A1(a,0),A2(a,0). 由条件 y ax y axxx ax y ax y ax y ax y 22 0 00 0 0 0 0 )( 1 1 得 而点 P(x0,y0)在双曲线上，b2x02a2y02=a2b2. 即 b2(x2)a2