我国花岗岩型铀矿床中沥青铀矿的某些矿物学特征
10页1、自然科学史研究第卷第期年,一呼认。于左“口刀。二矛、 清代无穷级数研究中的一个关键问题何绍庚中国科学院自然科学史研究所内容提要清初蒙古族数学家明安图 创用三种 方法,成功地解决 了二项式平 方根了不几了的展开问题。这是他推导三角函数幂级数展开式的第一步,也是关健的一步。这一重要贡献足可与著名 的“明氏九 术”相媲幕。明安图一约,是我国清代杰出的数学家和天文学家,曾任钦天监监正,撰有数学名著割圆密率捷法。他在数学方面的重要贡献是推导和证明了有关三角函数和反三角函数幂 级数展开式的九个公式,即著名的“明氏九术”。对此,数学史界已有相当充分的研究。实际上,明安图还有另外一项非常重要的工作,即关于二项展开式的研究。这是他为处理幂级数展开问题而正确选择的突破口。这个问题的解决,可说是他全部数学成就的基础。一、问 题的提出清初法国传教士杜德美,一来华,曾向中国学者介绍了三个著名的公式,即 圆周率“的无穷级数表 达式,正弦函数和正矢函数的幂级数展开式二一万 乏止十上立兰十竺。一卜二一二一生生二,一生十一六一六箭一 当时分别称之为“圆径求周”、“弧背求正弦”和“弧背求正矢”。这三个无穷级数公式是西方数
2、学中较新的成果。它以与中国传统数学截然不同的内容与形式,为计算圆周率和三角函数值提供了有效的算法,向中国数学界展示了一个新的广阔的领域,因而受到许多中国数学家的欢迎和重视。可是,杜德美虽然传人了这些公式,但并 未同时介绍推导这些公式的 原理和方法。议种 情况给当时的数学土作者带来了一定的困惑。正如有人所见钱宝踪主编中 这显然是不合适的。梅文鼎梅氏丛书国数学叙,第一页,科学出版社,” “年。这九个公式曾长期被称为“杜氏九术”,根据明叼图对这九个公式的实际工作,宜将其改称为“明氏九术、辑要附录梅毅成赤水遗珍札自然科学史研究卷说“特未详立法之根,学者恒苦莫抉其旨”。甚至还有人产生了怀疑和误解,认为这种方法只不过是“巧合”。一些优秀数学家出于理论和实践的需要,并不满足于盲目引甩个别的公式,而是积极探索这些公式的理论根据和证明方法,力求深刻理解和真正吸收外国的先进成果,使之成为自己手中的有力工具。明安图指 出“圆径求周、弧背求弦、求矢三法,本泰西杜德美氏所著,实古今所未有也。亚欲公诸同志。惜仅有其法而未详其义,恐人有金针不度之疑。”于是,他在钦天监工作之余,悉心研究无穷级数问题,前后达三十余年,
3、终于成功地证明上述三个公式,并且还得到了反正弦、反正矢等另外六个无穷级数公式,从而成为我国清代无穷级数研究领域的开拓者,得到了数学界和数学史家的高度评价。明安图为证明这些公式,创立了割圆连 比例法和级数回求法。割圆连比例法的中心思想是根据相似三角形对应边成比例的道理,得 出一系列比例关系式并求出相应的折线长度,然后 用折线逼近圆弧,从折线与弦的关系导 出弧与弦的关系。其具体运算的着眼点则在于无穷级数的各项系数。他首先运用这种方法来处理分弧通弦与全弧通弦的关系,特别是先要推算二分之一弧通弦、三分之一弧通弦、五分之一弧通弦与全弧通弦的关系,亦即将弧二等分、三等分和五等分,分别求 出相应弦长之间的表达式。由于全弧通弦可根应表示为三等分、五等分等奇数等分弧通弦的多项式,相对来说比较容易解决而用偶数等分弧通弦的表达间题均可归结为用二等分弧通弦的表达问题,因此,如何用二分之一弧通弦表示全弧通弦,就成为解决整个问题的第一步,也是关键的一步。如图,半径一,全弧通弦。,二分之一弧通弦 明安图称之为一分弧通弦一。,明安图所面临的问题就是已知,求,即用。表示,这个问题本来并不 复杂。显然,用勾股法或三角法易
4、于求出亦即刀一丫共爵一一厂面。或者由刀刀一了一记,亦可得到同样结果。在一般的求解线段长度问题中,得到这一公式后再施以具体数字运算,求出答案,间题就算解决了。但是,这里的要求却是要通过关于。的算术运算表示。,因此,上述方法见明安图割圆密率捷法岑建功序。汪莱衡斋算学第六册后记。见明安图割圆密率捷法陈际新序七期何绍庚清代无穷级数研究中的一个关键问题“不能与诸法相通”,明安图不得不另辟蹊径,寻求并找到了三种新 的解法。正如他的学生陈际新所说“观者依次求之,则知其不可易矣”。二、第一 种解法在数理精蕴等著作中已有简单的连比例问题,但只限于有限项的计算。在此基础上,明安图创用了割圆连比例方法,将其推广于无穷级数的情形。这无论从数学思想或数学方法上来讲都是重大的突破和飞跃。在这里所要解决的问题是建立一个以即。、 为变量 的幂级数来表示即。如图,作一一平 分于,连,又作。因,为相似等腰三角形,故,丽一丽一而“又因刀一,故”一“一器”一八一鱼。由于上式 中是未知量,因此还需要设法把与、与乙这两组连比例三角形联系起来,进而推导出与,之间的关系。为此,如图,作才,于是,为连比例三角形,一率咖一,二率价一一,
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