在自然科学和工程设计中的许多问题
35页1、 第五章 矩阵的特征值与特征向量的 MATLAB 程序59高等教育出版社 教育电子音像出版社 作者:任玉杰 在自然科学和工程设计中的许多问题,如电磁振荡、桥梁振动、机械振动等,常归 结为求矩阵的特征值和特征向量.求矩阵的特征值和特征向量的问题是代数计算中的重要 课题.本章着重介绍直接计算矩阵的特征值和特征向量的 MATLAB 程序、间接计算矩阵 的特征值和特征向量的幂法、反幂法、雅可比方法、豪斯霍尔德方法和 QR 方法及其它 们的 MATLAB 计算程序.最后我们还讨论广义特征值问题.5.15.1 直接计算特征值和特征向量的直接计算特征值和特征向量的 MATLABMATLAB 程序程序5.1.45.1.4 计算特征值和特征向量的计算特征值和特征向量的 MATLABMATLAB 程序程序从以上的讨论可以看到,有许多问题归结为求矩阵的特征值和特征向量,而用手工 计算高阶矩阵的特征值与特征向量的难度较大,但是,计算机软件 MATLAB 提供了直接 计算特征值与特征向量的 MATLAB 函数 (见表 51) ,下面介绍这些函数的使用方法. 表 51命 令功 能b = eig(A)输入方阵 A,
2、运行后输出 b 为由方阵 A 的全部特征 值构成的列向量V,D = eig (A)输入对称矩阵 A,运行后输出 D 为由 A 的全部特征 值构成的对角矩阵,V 的各列为对应于特征值的特征向量 构成的矩阵,使得 AV = DV V,D = eig (A,nobalance)输入方阵 A,运行后输出 D 为由 A 的全部特征值构 成的对角矩阵,V 的各列为对应于特征值的特征向量构成 的矩阵,使得 AV = DV;如果 A 是对称矩阵,则输出的结 果与程序 V,D = eig (A)的运行结果相同5.25.2 幂法及其幂法及其 MATLABMATLAB 程序程序幂法是求实矩阵的主特征值(即实矩阵按模最大的特征值)及其对应的特征AA 向量的一种迭代方法.5.2.25.2.2 幂法的幂法的 MATLABMATLAB 程序程序设阶实矩阵的个特征值为,且满足,的主nAnn,21L021nLA特征值对应的特征向量为,则我们可以用下面的 MATLAB 程序计算和的11X11X 近似值和近似向量. 用幂法计算矩阵用幂法计算矩阵的主特征值和对应的特征向量的的主特征值和对应的特征向量的 MATLABMATLA
3、B 主程序主程序A 输入的量:阶实矩阵、维初始实向量 V0、计算要求的精度 jd、迭代的最大nAn 次数 max1; 输出的量:迭代的次数 k、的主特征值的近似值 lambda、对应的特征向量A11的近似向量 Vk、相邻两次迭代的误差 Wc.如果迭代次数已经达到最大的迭代次数1X第五章第五章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算第五章 矩阵的特征值与特征向量的 MATLAB 程序60高等教育出版社 教育电子音像出版社 作者:任玉杰 max1,则给出提示的相关信息. 根据迭代公式(5.20) ,现提供用幂法计算矩阵的主特征值和对应的特征向量的A MATLAB主程序如下: function k,lambda,Vk,Wc=mifa(A,V0,jd,max1) lambda=0;k=1;Wc =1; ,jd=jd*0.1;state=1; V=V0; while(kjd) state=1; end k=k+1;Wc=Wc; end if(Wc A=1 -1;2 4;V0=1,1;k,lambda,Vk,Wc=mifa(A,V0,0.00001,100), V,D = eig
4、 (A), Dzd=max(diag(D), wuD= abs(Dzd- lambda), wuV=V(:,2)./Vk, 运行后屏幕显示结果 请注意:迭代次数 k,主特征值的近似值 lambda,主特征向量的近似向量 Vk,相邻两次迭代的 误差 Wc 如下: k = lambda = Wc =33 3.00000173836804 8.691862856124999e-007 Vk = V = wuV = -0.49999942054432 -0.70710678118655 0.44721359549996 -0.89442822756294 1.00000000000000 0.70710678118655 -0.89442719099992 -0.89442719099992 Dzd = wuD = 3 1.738368038406435e-006 由输出结果可看出,迭代 33 次,相邻两次迭代的误差 Wc 8.69 19e-007,矩阵 的主特征值的近似值 lambda3.000 00 和对应的特征向量的近似向量 Vk (-0.500 A00,1.000 00, lambda
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