在自然科学和工程设计中的许多问题
第五章 矩阵的特征值与特征向量的 MATLAB 程序59高等教育出版社 教育电子音像出版社 作者：任玉杰 在自然科学和工程设计中的许多问题，如电磁振荡、桥梁振动、机械振动等，常归 结为求矩阵的特征值和特征向量.求矩阵的特征值和特征向量的问题是代数计算中的重要 课题.本章着重介绍直接计算矩阵的特征值和特征向量的 MATLAB 程序、间接计算矩阵 的特征值和特征向量的幂法、反幂法、雅可比方法、豪斯霍尔德方法和 QR 方法及其它 们的 MATLAB 计算程序.最后我们还讨论广义特征值问题.5.15.1 直接计算特征值和特征向量的直接计算特征值和特征向量的 MATLABMATLAB 程序程序5.1.45.1.4 计算特征值和特征向量的计算特征值和特征向量的 MATLABMATLAB 程序程序从以上的讨论可以看到，有许多问题归结为求矩阵的特征值和特征向量，而用手工 计算高阶矩阵的特征值与特征向量的难度较大，但是，计算机软件 MATLAB 提供了直接 计算特征值与特征向量的 MATLAB 函数 （见表 51） ，下面介绍这些函数的使用方法. 表 51命 令功 能b = eig(A)输入方阵 A，运行后输出 b 为由方阵 A 的全部特征 值构成的列向量V,D = eig (A)输入对称矩阵 A，运行后输出 D 为由 A 的全部特征 值构成的对角矩阵，V 的各列为对应于特征值的特征向量 构成的矩阵，使得 AV = DV V,D = eig (A,'nobalance')输入方阵 A，运行后输出 D 为由 A 的全部特征值构 成的对角矩阵，V 的各列为对应于特征值的特征向量构成 的矩阵，使得 AV = DV；如果 A 是对称矩阵，则输出的结 果与程序 V,D = eig (A)的运行结果相同5.25.2 幂法及其幂法及其 MATLABMATLAB 程序程序幂法是求实矩阵的主特征值（即实矩阵按模最大的特征值）及其对应的特征AA 向量的一种迭代方法.5.2.25.2.2 幂法的幂法的 MATLABMATLAB 程序程序设阶实矩阵的个特征值为，且满足，的主nAnn,21L021nLA特征值对应的特征向量为，则我们可以用下面的 MATLAB 程序计算和的11X11X 近似值和近似向量. 用幂法计算矩阵用幂法计算矩阵的主特征值和对应的特征向量的的主特征值和对应的特征向量的 MATLABMATLAB 主程序主程序A 输入的量：阶实矩阵、维初始实向量 V0、计算要求的精度 jd、迭代的最大nAn 次数 max1； 输出的量：迭代的次数 k、的主特征值的近似值 lambda、对应的特征向量A11的近似向量 Vk、相邻两次迭代的误差 Wc.如果迭代次数已经达到最大的迭代次数1X第五章第五章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算第五章 矩阵的特征值与特征向量的 MATLAB 程序60高等教育出版社 教育电子音像出版社 作者：任玉杰 max1，则给出提示的相关信息. 根据迭代公式（5.20） ，现提供用幂法计算矩阵的主特征值和对应的特征向量的A MATLAB主程序如下： function k,lambda,Vk,Wc=mifa(A,V0,jd,max1) lambda=0;k=1;Wc =1; ,jd=jd*0.1;state=1; V=V0; while(kjd) state=1; end k=k+1;Wc=Wc; end if(Wc> A=1 -1;2 4;V0=1,1'k,lambda,Vk,Wc=mifa(A,V0,0.00001,100), V,D = eig (A), Dzd=max(diag(D), wuD= abs(Dzd- lambda), wuV=V(:,2)./Vk, 运行后屏幕显示结果 请注意：迭代次数 k,主特征值的近似值 lambda,主特征向量的近似向量 Vk,相邻两次迭代的 误差 Wc 如下： k = lambda = Wc =33 3.00000173836804 8.691862856124999e-007 Vk = V = wuV = -0.49999942054432 -0.70710678118655 0.44721359549996 -0.89442822756294 1.00000000000000 0.70710678118655 -0.89442719099992 -0.89442719099992 Dzd = wuD = 3 1.738368038406435e-006 由输出结果可看出，迭代 33 次，相邻两次迭代的误差 Wc 8.69 19e-007，矩阵 的主特征值的近似值 lambda3.000 00 和对应的特征向量的近似向量 Vk （-0.500 A00，1.000 00, lambda 与例 5.1.1 中的最大特征值近似相等，绝对误差约为T)A321.738 37e-006，Vk与特征向量 的第 1 个分量的绝对误差约等XT 22kT) 1,21()0(2k于 0，第 2 个分量的绝对值相同.由wuV可以看出，的特征向量 V(:,2) 与 Vk 的对应分2量的比值近似相等.因此，用程序 mifa.m 计算的结果达到预先给定的精度.510(2)(2) 输入 MATLAB 程序 >>B=1 2 3;2 1 3;3 3 6; V0=1,1,1' k,lambda,Vk,Wc=mifa(B,V0,0.00001,100), V,D = eig (B), Dzd=max(diag(D), wuD= abs(Dzd- lambda), wuV=V(:,3)./Vk, 运行后屏幕显示结果第五章 矩阵的特征值与特征向量的 MATLAB 程序61高等教育出版社 教育电子音像出版社 作者：任玉杰 请注意：迭代次数 k,主特征值的近似值 lambda,主特征向量的近似向量 Vk,相邻两次迭代的 误差 Wc 如下： k = lambda = Wc = Dzd = wuD =3 9 0 9 0 Vk = wuV =0.50000000000000 0.816496580927730.50000000000000 0.816496580927731.00000000000000 0.81649658092773 V =0.70710678118655 0.57735026918963 0.40824829046386-0.70710678118655 0.57735026918963 0.408248290463860 -0.57735026918963 0.81649658092773 由输出结果可看出，迭代 3 次，相邻两次迭代的误差 Wc=0，实对称矩阵 B 的主特 征值的近似值 lambda=9 和对应的特征向量的近似向量 Vk =（0.500 00，0.500 00，1.000 00,lambda 与例 5.1.1 中的最大特征值相同，Vk与特征向量T)B93XT 33k的对应分量成比例.从 wuV 的每个分量的值也可以看出，的特征向T)2, 1, 1 () 0(3k3量 V(:,3) 与 Vk 的对应分量的比值相等.因此，用程序 mifa.m 计算的结果达到预先给定的精度.510 此例说明，幂法对实对称矩阵幂法对实对称矩阵的迭代速度快且计算结果精度高，的迭代速度快且计算结果精度高，B(3)(3) 输入 MATLAB 程序 >> C=1 2 2;1 -1 1;4 -12 1;V0=1,1,1' k,lambda,Vk,Wc=mifa(C,V0,0.00001,100), V,D = eig (C), Dzd=max(diag(D), wuD= abs(Dzd- lambda), Vzd=V(:,1),wuV=V(:,1)./Vk, 运行后屏幕显示 请注意：迭代次数 k 已经达到最大迭代次数 max1,主特征值的迭代值 lambda,主特征向量 的迭代向量 Vk,相邻两次迭代的误差 Wc 如下： k = lambda = Wc = 100 0.09090909090910 2.37758124193119 Dzd = wuD =1.00000000000001 0.90909090909091 Vk= Vzd = wuV = 0.99999999999993 0.90453403373329 0.90453403373335 0.99999999999995 0.30151134457776 0.30151134457778 1.00000000000000 -0.30151134457776 -0.30151134457776 由输出结果可见，迭代次数 k 已经达到最大迭代次数 max1=100，并且 lambda 的相 邻两次迭代的误差 Wc2.377 58>2,由 wuV 可以看出，lambda 的特征向量 Vk 与真值 Dzd 的特征向量 Vzd 对应分量的比值相差较大，所以迭代序列发散.实际上，实数矩阵 C 的 特征值的近似值为，并且对应的特征向量的近i, i,010000000001.000321 似向量分别为=（0.90453403373329，0.30151134457776，-0.30151134457776）XT 11k，T（-0.72547625011001,-0.21764287503300-0.07254762501100i,XT 22k0.58038100008801-0.29019050004400i） ，T( -0.72547625011001, -0.21764287503300 + 0.07254762501100i,XT 33k0.58038100008801 + 0.29019050004400i) , 是常数）T0, 0(21kk03k. 此例说明，当当阶实矩阵有复数特征值时，不宜用幂法计算它的主特征值阶实矩阵有复数特征值时，不宜用幂法计算它的主特征值对应的对应的n1特征向量特征向量.1X（4 4）输入 MATLAB 程序 >> D=-4 14 0;-5 13 0;-1 0 2; V0=1,1,1' k,lambda,Vk,Wc=mifa(D,V0,0.00001,100), V,Dt = eig (D), Dtzd=max(diag(Dt), wuDt= abs(Dtzd- lambda), Vzd=V(:,2),wuV=V(:,2)./Vk, 运行后屏幕显示结果第五章 矩阵的特征
