风险理论第1章效用理论与保险

1、风险理论 教材： R.卡尔斯，M.胡法兹等现代精算风险理论 ，科学出版社，2005. 参考书： 吴岚，王燕:风险理论，财经出版社，2006 肖争艳:风险理论，人大，2008 邹公明，范兴华：风险理论，上海财大， 2006 风险理论与保险精算概述 风险理论-准精算师考试科目 一、风险的概念 人们习惯用“风险”这个词来表达可能发生的不 利事件和各种灾害。 但是由于所面对的具体问题和环境的不同，每 个人对风险这个概念的理解和描述也各不相同 。 风险是“无法预知”或“未卜先知”的。 讨论题 根据自身经历，对风险进行描述； 2. 试想，如果人类能具备预知未来的 能力，世界会是什么样子？我们的生 活又会是什么样子？ 二、风险的三要素 风险与三个因素直接有关： 自然状态的不确定性（人们不能预知的或无 法控制的自然状态风险的客观或外部原因） ； 人的主观行为的不确定性（当事人或决策 者的行为风险的主观或内部原因）； 两者结合所蕴涵的潜在后果。 三、风险的保险学定义 在保险学中，风险由两部分构成： 潜在不利后果的严重程度如何； 发生不利后果的可能性多大。 风险被简单地定义为“潜在损失的概率”。 四、保险

2、业务分类 寿险：以被保险人的生命为标的，以生死为事故 。 寿险的保险期相对较长，损失分布的规律（生 命表）也比较稳定。 非寿险：除了寿险以外的一切保险业务，如 财物险、车辆险等。 非寿险多为短期保险，损失情况五花八门，损 失分布规律也比较复杂。 五、保险精算的基本问题 精算学以现代数学和统计学为基础, 对 保险经营中的某些问题进行定量化的分析 和研究, 为保险公司进行科学决策和提高 管理水平提供依据和方法。 精算师要解决的几个基本问题： （1）保费设计；（2）准备金评估；（3） 再保险设计；（4）资产负债与偿付能力 管理。 中国精算师资格考试 中国精算师资格考试分为两个层次，第一层 次为准精算师资格考试，第二层次为精算 师资格考试。 准精算师考试目的在于考察考生对保险精算 的基本原理和技能的掌握，并涉及基本保 险精算实务，考试课程共设9门，均为必 考课程。 准精算师资格考试科目 01数学基础（）：微积分微积分、线性代数、运筹学 02数学基础（）：概率论概率论、数理统计、应用统计 03复利数学 04寿险精算数学 05风险理论：损失分布、风险模型风险模型、效用理论 06生命表基础 07寿险

3、精算实务 08非寿险精算数学与实务 09综合经济基础 课程内容 第一章 效用理论与保险 第二章 个体风险模型 第三章 聚合风险模型 第四章 破产理论 第五章 保费原理 第一章第一章 效用理论与保险效用理论与保险 1.1 引言 本书第二至第四章讨论的个体风险模型、聚 合风险模型和破产理论，无疑是分析和解决保 险公司经营管理中诸多关键问题如产品定价、 准备金提留、再保险自留额安排等问题的基础 。然而这些讨论都是基于对理赔风险的正确把 握进行的，这仅是问题的一个方面。 本章是从另外的角度，也就是从决策者的主 观角度来讨论风险决策问题，具体是从保险人 或被保险人的偏好出发讨论他们的风险态度。 并用效用函数作为描述和度量决策者偏好和风 险态度的工具。 效用理论的几个基本假设 风险态度：对待风险的态度可以分 为三种：风险厌恶、风险偏好和风险 中性。 例：我们有这样的二种选择： A：0.1%的机会得到10000元钱， 99.9%的机会什么也得不到。 B：100%的机会得到10元。 选择A？或B？ 选择A：偏好风险；选择B ：厌恶风险 例：我们有这样的二种选择： A：0.1%的失去10000元钱，99

4、.9%的 机会不损失。 B：100%的机会失去10元。 选择A？或B？ 选择B：厌恶风险 选择A ：偏好风险 1.2 期望效用模型 如果B 非常小，那么P几乎不会大于 0.01B； 如果B略微大一点，如500，那么P就可 能比5 稍大一些； 如果B 非常大，那么P 就会比0.01B大很 多。 结论：因为这么大的损失一但发生可 能导致破产，因此可以付出比期望值 高的费用为风险投保。 边际效用递减原理 效用的概念是丹尼尔.伯努利在解释圣彼得堡悖论 时提出来的主要包括两条原理：边际效用递减原 理和最大期望效用原理。 边际效用递减原理：个人对所追求的商品和财富 的满足程度由其效用值衡量，且随着其商品和财 富的绝对数量的增加而增加，但增加的速率却随 着其绝对数量的增加而逐渐降低。 讨论题：举例说明上述原理的正确性。 边际效用原理的主要涵义 最大期望效用原理 效用函数的确定 人们在做某个决策时，不自觉地使用这 效益函数，因此效用函数是客观存在的 ，但却很难给出一个明确的解析式。 可以向决策人提出大量的问题，通过他 们对这些问题的回答来决定该决策人的 效用函数。 如“为了避免以概率q损失1个单位货币

5、 ，你愿意支付多少保费P？” 效用函数的基本特征 Jensen不等式的证明 根据Jensen 不等式确定保费 （1）被保险人方面： （2）保险人方面 ： 成交！ 在后面式子的两边同时取期望，得到 因此，风险X 的最大保费 近似为 使用风险厌恶系数 ，则对风险X 所需最大保 费 近似为 由上式可见，均值-方差保费原理是合理的。 将（1.13）与（1.14）代入（1.10），得到 注意到 用 替换时， 并没有改变。 从（1.18），我们可以看到风险厌恶系数真正反 映了风险厌恶的程度：对风险厌恶程度越高，需 要支付的保费也越大。 1.3 效用函数族 线性效用函数的风险厌恶系数是 0； 指数效用函数的风险厌恶系数是 ； 其它效用函数的风险厌恶系数均可表示为 。 - 例1.3.1（指数保费） 假设一保险人使用参 数为 的指数效用函数，对于风险X ，最小 保费 应为多少？ a 把 代入均衡方程（1.11）得 其中 是X 的矩母函数， 代表风险 厌恶系数。指数保费随着 增加而增加，而与 保险人当前的财富无关。更有意义的是， 被保险人的最大保费 的表达同 ，但是 其使用的参数 会有所不同。 矩母函数

6、一、定义： 设X为随机变量，如果以下数学期望 存在，则称它为X的矩母函数，记为 。 二、矩母函数的性质 （1）若随机变量X的各阶中心矩 存在，则 （2）随机变量的期望值与方差和矩母函数具有下列关 系 上式中 称为累积量母函数。 （3）如果随机变量X和Y相互独立，则 常用分布的矩母函数 分布矩母函数注解 Binomial B(n, p) Poisson Pois() Uniform U(a, b) Normal N(, 2) Gamma (k, ) Exponential Exp() Chi-square 2k 如果被保险人的效用函数是参数为 的指数效用函数，则最大保费为 例：假设损失X 服从参数为 的指数分布， 令 ，则 因此被保险人愿意在纯保费 之上附 加相当数量的额外保费。 138.6100（均值） 由例1.2.4中的近似公式(1.18)得 显然，近似表达式(1.22)随 递增。 如果X 是方差有限的非负随机变量，则 (1.20)所决定的保费也是随 递增的，具体证 明如下。令 由Jensen 不等式知 取 则 且 对任意 ，通过对上述不等式两边取 对数，得 由此证明，指数保费随着厌

7、恶系数的增加而增加 。特别地，在 和 两个极端情况，有 由方程(1.10)，发生损失X 之后的期望效用为 以及支付保费P之后的效用为 根据（1.10），（1.28）与（1.29）右端 应当相等，由此求得最大保费为： 容易验证， ，故保费将随着财富的 增加，且 。 例1.3.3（不可保的风险） 某决策者使用风 险厌恶系数为 的指数效用函数，他想 对分布为 的风险进行投保，其中 表示参数为a, b的伽玛分布确定 并证 明 ，何时 ，此时说明了什么？ 分布 的矩母函数为 ， 因为 , 我们有 .因而 所以，计算出的保费大于纯保 费。如果 ，则 ，这表明决策者愿 意支付任何有限的保费。按照效用理论，如果 风险厌恶系数为 ，那么承保该风险的保 险人对于任何有限的保费P，都会遭受损失，因 为 。对于保险人来说，这种风险是不可 保的。 Allais悖论 考虑下面可能的资本收益 很多人会选择X,其实 ，由此可见期 望效益并不总能反映决策者的行为。完全没有 风险的状态与期望效用指标相比，对决策着可 能更有吸引力。 1.4 停止损失再保险的最优性 再保险合同通常只承保保险人的一部分风 险。停止损失(再）保

8、险承保损失超出指定 免赔额 的超额部分。 它的定义如下：如果发生的损失为X(我们假 设 ) ， 则理赔支付 为 对于停止损失保险，其纯保费为 ， 称为停止损失保费，记为 在离散情形， 为阶梯函数，其在x 处的 跳为 ；在连续情形， 有导函数 两种情形下的停止损失保费都可由下式给出 现在的问题是：对于保险人来说，应该对损 失X设置多大的免赔额d？在再保险问题上， 就是保险人应该预留多大的自留额？这是再 保险的一个核心问题。 免赔额（自留额）的确定 定理：（停止损失再保险期望效用最大）若风险 厌恶型的投保人愿意付出的保费为P，则对他 而言，具有最大期望效用的保险形式是停止损 失再保险，当免赔额 满足下列方程 时，则有 证明：由于投保人是风险厌恶型的， ，因 此 上面最后一个不等式成立，可分三种情况讨论： （1） ，不等式以等号成立；（2） ， ，不等式也以等号成立； （3） ， ， ， ，最后的不等 式成立。 对前面的不等式两侧取数学期望，得 定理得证。 定理1.4.l （停止损失再保险的最优性）用 记当损失为 时，某再保险合同约定的理 赔支付。假设 对于任意 成立,则 证明: 记 因为 ，所以只需证明 上式成立的一个充分条件是 以概率1 成立 当 时， ，显然成立； 当 时, 我们有 ，有 停止损失保费不仅使自留风险的方差达 到最小，而且还使被保险人的期望效用 达到最大。 例1.4.2 （比例再保险的最优性） 假设保险人 收取保费 ,正寻求最有利的再保险 满足 ，且自留风险的方差给定如下 ： 我们必须使再保险公司的期望利润达到最小 问题B 容易解决一些

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