1997年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学（一）试题及参考答案

1、第 1 页 共 21 页19971997 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题卷真题卷 数学数学( (一一) )试题试题一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 分分, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .把答案在题中横线上把答案在题中横线上.).)(1)2013sincos lim(1 cos )ln(1)xxxx xx .(2) 设幂级数0n n na x的收敛半径为 3,则幂级数11(1)nn nnax 的收敛区间为.(3) 对数螺线e在点2( , )(,)2e 处的切线的直角坐标方程为.(4) 设12243311At ,B为三阶非零矩阵,且0AB ,则t=.(5) 袋中有 50 个乒乓球,其中 20 个是黄球,30 个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一 球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是.二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中, ,只有一项符只有一项符 合题目要求合题目要求, ,把

2、所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内) )(1) 二元函数22, ( , )(0,0),( , ) 0, ( , )(0,0)xyx yxyf x y x y 在点(0,0)处()(A) 连续,偏导数存在(B) 连续,偏导数不存在 (C) 不连续,偏导数存在(D) 不连续,偏导数不存在(2) 设在区间 , a b上( )0,( )0,( )0,f xfxfx令12( ),( )()baSf x dx Sf b ba,31 ( )( )()2Sf af bba,则()(A)123SSS(B)213SSS(C)312SSS(D)231SSS(3)2sin( )sin,xtxF xetdt设则( )F x()(A) 为正常数(B) 为负常数(C) 恒为零(D) 不为常数第 2 页 共 21 页(4) 设111122232333,abcabcabc 则三条直线1110a xb yc,2220a xb yc,3330a xb yc(其中220,1,2,3iiabi)交于一点的充要条件是()(A)123, 线性相关(B)123, 线性无关(C) 秩123(,)r 秩12(

3、,)r (D)123, 线性相关,12, 线性无关(5) 设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2,则随机变量32XY的方差是 () (A) 8(B) 16(C) 28(D) 44三、三、( (本题共本题共 3 3 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1) 计算22(),Ixy dV其中为平面曲线22 ,0yzx绕z轴旋转一周形成的曲面与平面8z 所围成的区域.(2) 计算曲线积分()()() Czy dxxz dyxy dz ,其中C是曲线221,2,xyxyz从z轴正向往z轴负向看,C的方向是顺时针的.第 3 页 共 21 页(3) 在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为N,在0t 时刻已掌握新技术的人数为0x,在任意时刻t已掌握新技术的人数为( )x t(将( )x t视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数0,k 求( )x t.四、四、( (本题共本题共 2 2 小题小题, ,第第(1)(1)小题小题 6 6 分分, ,第第(2)(2)小题小题

4、7 7 分分, ,满分满分 1313 分分.).)(1) 设直线0,:30xybLxayz 在平面上,且平面与曲面22zxy相切于点(1, 2,5),求, a b之值.第 4 页 共 21 页(2) 设函数( )f u具有二阶连续导数,而(sin )xzf ey满足方程22 2 22xzze zxy,求( )f u.五、五、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )设( )f x连续,10( )() ,xf xt dt且 0( )lim xf xAx(A为常数),求( ) x并讨论( ) x在0x 处的连续性.第 5 页 共 21 页六、六、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )设11112,(),1,2,.,2nn naaana证明：(1)limnna 存在；(2) 级数111nnna a收敛.七、七、( (本题共本题共 2 2 小题小题, ,第第(1)(1)小题小题 5 5 分分, ,第第(2)(2)小题小题 6 6 分分, ,满分满分 1111 分分.).)(1) 设B是秩为 2 的5 4矩阵,123(1,1,2,3) ,( 1,1,4, 1) ,(5, 1, 8,9)TTT

5、 是齐次线性方程组0Bx 的解向量,求0Bx 的解空间的一个标准正交基.(2) 已知111 是矩阵2125312Aab 的一个特征向量.() 试确定参数, a b及特征向量所对应的特征值；() 问A能否相似于对角阵？说明理由.第 6 页 共 21 页八、八、( (本题满分本题满分 5 5 分分) )设A是n阶可逆方阵,将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B.(1) 证明B可逆；(2) 求1AB.九、九、( (本题满分本题满分 7 7 分分) ) 从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是2 5.设X为途中遇到红灯的次数,求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望.第 7 页 共 21 页十、十、( (本题满分本题满分 5 5 分分) )设总体X的概率密度为(1), 01,( )0, xxf x 其它，其中1 是未知参数.12,nx xx是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本,分别用矩估计法和最大似然估计法求的估计量.第 8 页 共 21 页19971997 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题卷真题卷

6、 数学数学( (一一) )试题参考答案及解析试题参考答案及解析一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 分分, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .把答案在题中横线上把答案在题中横线上.).)(1)【答案】3 2【分析】这是0 0型极限.注意两个特殊极限 00sinln(1)lim1,lim1 xxxx xx.【解析】将原式的分子、分母同除以x,得2001sin13sincos3cos3limlim.ln(1)(1 cos )ln(1)2(1 cos )xxxxxxxxx xxxxx 评注：使用洛必达法则的条件中有一项是0( )lim( )xxfx g x 应存在或为,而本题中,200111(3sincos)3cos2 cossin limlim1 cos(1 cos )ln(1)sin ln(1)1xxxxxxxxx xxxxxx 极限不存在,也不为,不满足使用洛必达法则的条件,故本题不能用洛必达法则. 【相关知识点】1.有界量乘以无穷小量为无穷小量.(2)【答案】( 2,4)【解析】考察这两个幂级数的关系.令1tx,则1212111nnn nnn

7、nnnna ttna tta t .由于逐项求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径,1n n na t的收敛半径为 3 1n n na t的收敛半径为 3.从而2111nn nn nnta tna t 的收敛半径为 3,收敛区间即(-3,3),回到原幂级数11(1)nn nnax ,它的收敛区间为313x ,即( 2,4).评注：评注：幂级数的收敛区间指的是开区间,不考虑端点.对于0n n na x,若1limnnna a它的收敛半径是1R.但是若只知它的收敛半径为R,则11limnnna aR,因为1limnnna a可以不存在(对于缺项幂级数就是这种情形).第 9 页 共 21 页(3)【答案】2xye 【解析】求切线方程的主要问题是求其斜率xky,而xy可由e的参数方程coscos ,sinsinxeye 求得： 2sincossincos,1cossincossinxxyeeyyxee ,所以切线的方程为2(0)yex ,即2xye .评注：评注：本题难点在于考生不熟悉极坐标方程与直角坐标方程之间的关系.(4)【答案】3t 【解析】由0AB ,对B按列分块,设123,B ,则

8、 123123,0,0,0ABAAAA ,即123, 是齐次方程组0Ax 的解.又因BO,故0Ax 有非零解,那么12210243433730311301Attt,由此可得3t .评注：评注：若熟悉公式0AB ,则( )( )3r Ar Bn,可知( )3r A ,亦可求出3t .(5)【答案】2 5 【解析】方法方法 1 1：利用全概率公式. 求第二人取得黄球的概率,一般理解为这事件与第一人取得的是什么球有关.这就要用 全概率公式.全概率公式首先需要一个完全事件组,这就涉及到设事件的问题.设事件iA “第i个人取得黄球”,1,2i ,则完全事件组为11,A A(分别表示第一个人取得黄球和第一个人取得白球).根据题设条件可知 1202 505P A黄球的个数 球的总数； 1303 505P A白球的个数 球的总数；2120 119|50 149P AA(第一个人取得黄球的条件下,黄球个数变成20 119 ,球的总数变成50 149 ,第二个人取得黄球的概率就为19 49)；2120|49P AA(第一个人取得白球的条件下,黄球个数亦为 20,球的总数变成第 10 页 共 21 页50-1=49,第二个人取得黄球的概率就为20 49).故应用全概率公式 21211212 193 202|5 495 495P AP A P AAP A P AA.方法二：方法二：利用“抽签原理”. 只考虑第二个人取得的球,这 50 个球中每一个都会等可能地被第二个人取到.犹如几个 人抽奖,其中只有一张彩票有奖,那么这几个人先抽与后抽,抽到有奖彩票的概率是一样的, 这就是我们抽奖的公平性,此题中取到黄球的可能有 20 个,所以第二个人取到黄球的概率为 202 505.【相关知识点】1.全概率公式: 2121121|P AP A P AAP A P AA；2. 古典型概率公式：()i iAP A 有利于事件 的样本点数 样本空间的总数.二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满

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