精编制作常微分方程数值解法PPT课件
73页1、 数值分析 第5章常微分方程数值解法 1引言 1 0基本概念1 常微分方程的初值问题 称为具有初值 1 2 的常微分方程 若f x y 在 a x b y 上连续 且关于y满足Lip条件 常数L使 f x y1 f x y2 L y1 y2 则初值问题 1 1 1 2 存在唯一连续可微解y x 注 以下总假设f满足Lip条件 1引言 1 0基本概念1 常微分方程的初值问题 称为具有初值 1 2 的常微分方程 1 1 1 2 等价于微分方程 1 3 注 一般无初等解 解析解 即使有形式也复杂 1引言 1 0基本概念2 初值问题的数值解设 1 1 1 2 的解y x 在节点xi处的近似解值为yi y xi a x1 x2 xn b则称yi i 1 2 n 为 1 1 1 2 的数值解 又称y xi 的计算值 1引言 1 0基本概念3 数值方法 两种转化 由微分出发的数值方法 由积分出发的数值方法 计算方法步进法 从初始条件出发 逐步求y1 y2 yn 又有两种 单步法 多步法 注 采用等距节点 1引言 1 1基于数值微分的求解公式 1 6 1引言 1 1基于数值微分的求解公式 1 前进欧拉
2、公式 1 6 的前半部分为 令yi 1 yi hf xi yi 1 7 其中yi y xi 则yi 1 y xi 1 1引言 1 1基于数值微分的求解公式 1 前进欧拉公式令yi 1 yi hf xi yi 1 7 其中yi y xi 则yi 1 y xi 1 记 1 8 则称 1 7 为前进欧拉求解公式 简称为欧拉公式或欧拉法 1 8 称为欧拉公式的余项 ei 1 h y xi 1 yi 1 1引言 1 1基于数值微分的求解公式 2 后退欧拉公式 1 6 的后半部分令yi 1 yi hf xi 1 yi 1 1 9 其中yi y xi 则yi 1 y xi 1 1引言 1 1基于数值微分的求解公式 2 后退欧拉公式令yi 1 yi hf xi 1 yi 1 1 9 其中yi y xi 则yi 1 y xi 1 注 1 9 中f xi 1 yi 1 f xi 1 y xi 1 余项 1 10 1引言 1 1基于数值微分的求解公式 2 后退欧拉公式令yi 1 yi hf xi 1 yi 1 1 9 其中yi y xi 则yi 1 y xi 1 注 称 1 9 为后退欧拉公式 后退欧拉法
3、称 1 10 为后退欧拉法的误差近似值 欧拉法与后退欧拉公式的区别 1 7 为直接计算公式称显式公式 1 9 为关于函数方程称隐式公式 1引言 1 1基于数值微分的求解公式 例1 取h 0 1求解初值问题 1 11 解 xi ih 0 1 i i 0 1 2 10 欧拉法 1引言 1 1基于数值微分的求解公式 例1 取h 0 1求解初值问题 1 11 解 xi ih 0 1 i i 0 1 2 10 后退欧拉法 1引言 1 1基于数值微分的求解公式 注 为避免求解函数方程 采用显式与隐式结合的方法 此方法称为预测 校正系统 求解过程为 1引言 1 1基于数值微分的求解公式 预测 校正系统 例2 利用预测 校正系统求解例1 1引言 1 1基于数值微分的求解公式 预测 校正系统 注 显式比隐式方便 但有时隐式效果比显式好 4介绍 1引言 1 2截断误差定义1 1称ek h y xk yk为计算yk的公式第k步的局部截断误差 注 局部 是指在计算第k步时 假定前面yi y xi i k 而yk y xk 欧拉法 后退欧拉法 一般根据y xk 对y k y k 做估计 1引言 1 2截断误差定
4、义1 2设ei h i 1 2 k 为求解公式第i步的局部截断误差 称为该求解公式在点上的整体截断误差 注 局部截断误差ek h 与yk有关 整体截断误差Ek h 与y1 y2 yk有关 所有ek h 都与h有关 1引言 1 2截断误差定义1 3若局部截断误差e h O hp 1 则称该求解公式具有p阶精度 注 欧拉法具有一阶精度 精度越高越好 1引言 作业P2081 2 3 1引言 1 3基于数值积分的求解公式 1 13 若已知y xk yk 则计算积分可求出y xk 1 如用矩形公式求积分则有y xk 1 y xk hf xk yk 令yk 1 y xk hf xk yk 即为欧拉公式 故欧拉公式又称矩形法 1引言 1 3基于数值积分的求解公式 1 13 考虑1 梯形公式记 1 14 1引言 1 3基于数值积分的求解公式1 梯形公式记 1 14 称 1 14 为梯形 求解 公式 简称梯形法 1引言 1 3基于数值积分的求解公式1 梯形公式梯形 求解 公式 简称梯形法 1 14 注 梯形公式的余项 故是二阶精度 1 3基于数值积分的求解公式1 梯形公式 1 14 梯形公式为隐式公式
5、预测 校正系统 1 15 称 1 15 为改进的欧拉公式 也可记为 1引言 1引言 1 3基于数值积分的求解公式1 梯形公式 1 14 可以证明 改进欧拉公式也具有二阶精度 1引言 1 3基于数值积分的求解公式 例3 用欧拉法 梯形法以及改进欧拉法求解取h 0 1 计算到x 0 5 解 f x y x y 1 a x0 0 b 0 5 y0 1 n 5 Euler法 求解公式 yk yk 1 h xk 1 yk 1 1 hxk 1 1 h yk 1 h 0 1xk 1 0 9yk 1 0 1 1引言 1 3基于数值积分的求解公式 例3 用欧拉法 梯形法以及改进欧拉法求解解 f x y x y 1 a x0 0 b 0 5 y0 1 n 5 梯形法 求解公式 yk yk 1 h xk 1 yk 1 1 xk yk 1 2解出yk 得 方程 1引言 1 3基于数值积分的求解公式 例3 用欧拉法 梯形法以及改进欧拉法求解解 f x y x y 1 a x0 0 b 0 5 y0 1 n 5 改进Euler法 求解公式 yk yk 1 h xk 1 yk 1 1 xk yk h xk yk 1
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