2018版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标准方程学案 新人教A版选修2-1

1、2.3.1双曲线及其标准方程学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.知识点一双曲线的定义思考若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？答案如图，曲线上的点满足条件：|MF1|MF2|常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|MF1|常数，可得到另一条曲线.梳理(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距；(2)关于“小于|F1F2|”：若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在.(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支.(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨

2、迹是线段F1F2的中垂线.知识点二双曲线的标准方程思考1双曲线的标准方程的推导过程是什么？答案(1)建系：以直线F1F2为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系.(2)设点：设M(x，y)是双曲线上任意一点，且双曲线的焦点坐标为F1(c，0)，F2(c，0).(3)列式：由|MF1|MF2|2a，可得2a.(4)化简：移项，平方后可得(c2a2)x2a2y2a2(c2a2).令c2a2b2，得双曲线的标准方程为1(a0，b0).(5)检验：从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方程；以方程的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(c，0)，(c，0)的距离之差的绝对值为2a，即以方程的解为坐标的点都在双曲线上，这样，就把方程叫做双曲线的标准方程.(此步骤可省略)思考2双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？答案双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2c2a2，即c2a2b2，其中ca，cb，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2a2c2，即a2b2c2，其中ab0，ac，c与b大小不确定.梳理(1)

3、两种形式的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形焦点坐标F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c的关系式a2b2c2(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上.(3)双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax2By21(AB0).(4)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里的b2c2a2与椭圆中的b2a2c2相区别.类型一双曲线的定义及应用命题角度1双曲线中焦点三角形面积问题例1已知双曲线1的左，右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得F1PF260，求F1PF2的面积.解由1，得a3，b4，c5.由定义和余弦定理得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|64，所以|PF1|PF2|sinF1PF26416.引申探究本例中

4、若F1PF290，其他条件不变，求F1PF2的面积.解由双曲线方程知a3，b4，c5，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a6，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，在RtF1PF2中，由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2100，将代入得|PF1|PF2|32，所以|PF1|PF2|16.反思与感悟求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一：根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a；利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；通过配方，利用整体的思想求出|PF1|PF2|的值；利用公式|PF1|PF2|sinF1PF2求得面积.(2)方法二：利用公式|F1F2|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积.特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1|PF2|2a的变形使用，特别是与|PF1|2|PF2|2，|PF1|PF2|间的关系.跟踪训练1如图所示，已知F1，F2分别为双曲线1的左，右焦点，点M为双曲线上一点，并且F1MF2，求MF1F2的面积.解在MF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|

5、2|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|cos .|F1F2|24c2，|MF1|2|MF2|2(|MF1|MF2|)22|MF1|MF2|4a22|MF1|MF2|，式化为4c24a22|MF1|MF2|(1cos )，|MF1|MF2|，|MF1|MF2|sin .命题角度2利用双曲线定义求其标准方程例2(1)已知定点F1(2，0)，F2(2，0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是()A.|PF1|PF2|3B.|PF1|PF2|4C.|PF1|PF2|5D.|PF1|2|PF2|24(2)已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_.答案(1)A(2)x21(x1)解析(1)当|PF1|PF2|3时，|PF1|PF2|30).判断：若2a2c|F1F2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且2c|F1F2|，b2c2a2，进而求出相应a，b，c.根据F1，F2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程.跟踪训练2下列命题是真命题的是_.(将所有真命题的序号都填上)已知定点F1(1，0)，F2(

6、1，0)，则满足|PF1|PF2|的点P的轨迹为双曲线；已知定点F1(2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|PF2|4的点P的轨迹为两条射线；到定点F1(3，0)，F2(3，0)距离之差的绝对值等于7的点P的轨迹为双曲线；若点P到定点F1(4，0)，F2(4，0)的距离的差的绝对值等于点M(1，2)到点N(3，1)的距离，则点P的轨迹为双曲线.答案解析6，故点P的轨迹不存在；点M(1，2)到点N(3，1)的距离为50，b0)，则解得双曲线的标准方程为1.(2)方法一设所求双曲线方程为1(a0，b0)，由题意易求得c2.又双曲线过点(3，2)，1.又a2b2(2)2，a212，b28.故所求双曲线方程为1.方法二设双曲线方程为1(4k16)，将点(3，2)代入得k4，所求双曲线方程为1.反思与感悟待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2By21(AB0，b0)共焦点的双曲线的标准方程可设为1(b2k0，b0)，c，b2c2a26a2.由题意知1，1，解得a25或a230(舍).b21.双曲线的标准方程为y21.(2)设双曲线方程为mx2ny21(mn0，b0)，则a2b220.又双曲线过点(3，)，1.a2202，b22.所求双曲线的标准方程为1.类型三双曲线定义的综合运用例4已知椭圆1与双曲线1有交点P，且有公共的焦点，且F1PF22，求证：tan .证明如图所示，设|PF1|r1，|PF2|r2，|F1F2|2c，则在PF1F2中，对于双曲线有|r2r1|2m，cos 21，1cos 2.

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