人教A版高中数学(必修第二册)同步讲义第39讲 拓展一:立体几何中空间角的问题和点到平面距离问题(教师版)
61页1、第16讲 拓展一:立体几何中空间角的问题和点到平面距离问题题型01点到平面距离(定值)【典例1】(2024上辽宁辽阳高三统考期末)在平面四边形中,为正三角形,如图1,将四边形沿AC折起,得到如图2所示的四面体,若四面体外接球的球心为O,当四面体的体积最大时,点O到平面ABD的距离为()ABCD【答案】C【详解】由题意可知当平面平面时四面体的体积最大时,因为为正三角形,所以,则,当平面平面时,取线段中点,则点为直角三角形的外心,连接,则易知平面,所以四面体外接球球心在上,因为为正三角形,所以四面体外接球球心即为的中心,则,设点到面的距离为,点到面的距离为,由得,因为边长为2,所以,中,所以,则,所以点到面的距离为.故选:C【典例2】(2024上上海高二上海师大附中校考期末)在直三棱柱中,则点到平面的距离为 .【答案】【详解】因为,所以,又三棱柱为直棱柱,所以平面,又平面,所以平面平面,又平面平面 平面,所以平面,易得,在中由余弦定理:得,故,于是,由棱柱性质得,平面,平面,所以平面,点到平面的距离即点到平面的距离,设为d因为,所以,解得故答案为: 【典例3】(2022重庆统考模拟预测)在
2、三棱锥中,平面ABC,是边长为2的正三角形,Q为三棱锥外接球球面上一动点,则点Q到平面PAB的距离的最大值为 【答案】【详解】令三棱锥外接球球心为O,正所在平面截球面所得小圆圆心为,连接,如图,则平面ABC,而正边长为2,即有,因平面ABC,则三棱锥外接球球心为O在过线段PA中点,且垂直于线段PA的平面内,显然过线段PA中点垂直于线段PA的平面与平面ABC平行,则,于是得球O的半径,取PB中点,AB中点D,连接,因是直角三角形,则是平面PAB截球O所得截面小圆圆心,因此,平面PAB,而,则平面ABC,必有,于是得四边形是平行四边形,由球面的性质知,点Q是经过点的球面直径端点且球心在点与Q之间时,点Q到平面PAB的距离最大,此最大距离为,所以点Q到平面PAB的距离的最大值为.【典例4】(2024全国模拟预测)如图,在三棱锥中,平面平面,分别为棱的中点(1)证明:平面;(2)求点到平面的距离【答案】(1)证明见解析(2)【详解】(1)平面平面,平面平面,平面平面,平面,又平面,平面,又分别为棱的中点,平面(2)分别为棱的中点,又由第(1)问得平面,平面,平面,平面,设点到平面的距离为,则,
3、解得,所以点到平面的距离为【变式1】(2024上上海高二上海南汇中学校考期末)如图,已知长方体中,棱,为中点,则点到平面的距离是 .【答案】/【详解】设点到平面的距离为,因为,为中点,所以,所以为等边三角形,所以,因为,所以,所以,解得,故答案为:.【变式2】(2024全国模拟预测)如图1,已知直角梯形中,M为CF的中点,将沿DM折起到的位置,使平面平面,N,Q,H,P分别为AF,DM,DE,AE的中点,如图2所示(1)求证:平面平面;(2)求点D到平面的距离【答案】(1)证明见解析(2)【详解】(1)Q,H分别是DM,DE的中点,平面,平面,平面如图,连接PN,N,P分别是AF,AE的中点,易知,Q是DM的中点,四边形QMNP为平行四边形,不在平面,平面,平面,平面PQH,平面平面PQH(2)如图,取ME的中点O,连接OQ,OH,PO,PD,易知四边形DEFM是边长为2的正方形,平面平面DEFM,平面平面,平面DEFM,P是AE的中点,平面DEFMQ,H分别为DM,DE的中点,在中,在中,是边长为的正三角形,设点D到平面PQH的距离为d,点D到平面PQH的距离为【变式3】(2024全
4、国模拟预测)已知四棱锥如图所示,平面平面,四边形为菱形,为等边三角形,直线与平面所成角的正切值为1(1)求证:;(2)若点是线段AD上靠近的四等分点,求点到平面的距离【答案】(1)证明见解析(2)【详解】(1)如图,过点作于点,连接.因为平面平面,平面平面,平面,所以平面.所以即为直线与平面所成的角.因为又四边形是菱形,是等边三角形,所以,所以,故为的中点.因为平面,所以平面,又平面,所以.(2)由题意可得:.连接,由(1)得:,平面平面,平面平面,平面,所以平面.因为平面,所以.在中,所以,故,在中,所以.所以,.设点到平面的距离为,则,得.所以点到平面的距离为.题型02点到平面距离(最值或范围)【典例1】(2024上上海黄浦高二统考期末)已知为空间五个点,若两两垂直,且,则点到平面的距离的最大值为 【答案】【详解】由于,故点在以为球心,半径为的球面上,设到平面的距离为,则由等体积法可得,而,所以,故,因此点到平面的距离的最大值为,故答案为: 【典例2】(2021下上海松江高二上海市松江二中校考阶段练习)如图,已知四面体ABCD中,DA=DB=a,DC=b,.(1)用a,b表示四面体
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