轰炸敌人军事目标的最优解决方案

1、轰炸敌人军事目标的最优解决方案仇海全（学院专业级班，学号：）一、问题复述：某战略轰炸机群奉命摧毁敌人军事目标。已知该目标有四个要害部位，只要摧毁其中之一即可达到目的。为完成此项任务的汽油消耗量限制为 48000 升、重型炸弹 48 枚、轻型炸弹 32 枚。飞机携带重型炸弹时每升汽油可飞行 2 千米，带轻型炸弹时每升汽油可飞 3 千米。又知每架飞机每次只能装载一枚炸弹，每出发轰炸机一次除来回路程汽油消耗（空载时每升汽油可飞行 4 千米）外，起飞和降落每次各消耗 100升。有关数据如表所示。摧毁可能性要害部位 离机场距离（千米） 每枚重型弹 每枚轻型弹1 450 0.10 0.082 480 0.20 0.163 540 0.15 0.124 600 0.25 0.20为了使摧毁敌方军事目标的可能性最大，应如何确定飞机轰炸的方案？要求建立这个问题的线性规划模型。二、假设：1. 每架飞机每次只携带一枚炸弹；2. 假设飞机在轰炸过程中能安全返航；3. 假设飞机按直线飞行，不考虑飞机在投掷过程中的转弯路程；4. 假设有足够的飞机执行任务。三、模型建立1. 问题分析首先考虑飞机单程飞行所需要的油量

2、，由于轰炸方案受到总油量、重型炸弹与轻型炸弹数量的限制，故可考虑建立线性约束；从另外一方面考虑，飞机轰炸要害部位是否成功带有一定的随机性，需要从概率的角度出发，建立相应的目标函数。飞机携带一枚炸弹来回耗油量1：重型炸弹（450/2+450/4+200 ）537.5 轻型炸弹（ 450/3+450/4+200）462.52：重型炸弹（480/2+480/4+200 ）560 轻型炸弹（480/3+480/4+200）4803：重型炸弹（540/2+540/4+200 ）605 轻型炸弹（540/3+540/4+200）5154：重型炸弹（600/2+600/4+200 ）650 轻型炸弹（600/3+600/4+200）5502. 符号假设向目标 1 投掷重型炸弹 x11 枚，投掷轻型炸弹 x12 枚向目标 2 投掷重型炸弹 x21 枚，投掷轻型炸弹 x22 枚向目标 3 投掷重型炸弹 x31 枚，投掷轻型炸弹 x32 枚向目标 4 投掷重型炸弹 x41 枚，投掷轻型炸弹 x42 枚3. 约束条件重型炸弹只有 48 枚：x11+x21+x31+x41=04. 目标函数注意到目标的四个要害

3、部位只要有一个被摧毁就可以了，也可以看作我们所投掷的x11+x21+x31+x41+ x12+x22+x32+x42 枚炸弹只要有一枚摧毁目标即可。考虑最差的情况，所有的炸弹都没有炸毁目标，则此种情况发生的概率为：(1-0.1)x11*(1-0.08)x12*(1-0.20)x21*(1-0.16)x22*(1-0.15)x31*(1-0.12)x32*(1-0.25)x41*(1-0.2)x42显然，至少有一枚炸弹摧毁目标的概率可以得出1-(0.9)x11*(0.92)x12*(0.8)x21*(0.84)x22*(0.85)x31*(0.88)x32*(0.75)x41*(0.8)x42因此，目标函数为：Max 1-(0.9)x11*(0.92)x12*(0.8)x21*(0.84)x22*(0.85)x31*(0.88)x32*(0.75)x41*(0.8)x42但考虑到要建立线性规划模型，上述目标函数是非线性的，因此，转变考虑思路，将目标函数转换为Min (0.9)x11*(0.92)x12*(0.8)x21*(0.84)x22*(0.85)x31*(0.88)x32*(0.7

4、5)x41*(0.8)x42这是多个幂指函数的乘积，可以取对数来转换成和的形式：Min ex11*log(0.9)+x12*log(0.92)+ x21*log(0.8)+ x22*log(0.84)+ x31*log(0.85)+ x32*log(0.88)+ x41*log(75)+ x42*log(0.8)亦即：Min x11*log(0.9)+x12*log(0.92)+x21*log(0.8)+x22*log(0.84)+x31*log(0.85)+x32*log(0.88)+x41*log(75)+x42*log(0.8)由此转换成线性函数，此时转换为线性规划模型。Min x11*log(0.9)+x12*log(0.92)+x21*log(0.8)+x22*log(0.84)+x31*log(0.85)+x32*log(0.88)+x41*log(75)+x42*log(0.8)x11+x21+x31+x41=0四、模型求解：这是一个线性规划问题，可利用 lingo 编写程序进行求解。编写程序 hongzha.lg4（附录 1）求解得。目标值：-20.54780摧毁概率：

5、0.99999999880820 耗油量：45690 升出动方案：x11=0 ,x12=0 ，向 1 号目标不投掷炸弹；x21=1 ,x22=1 ，向 2 号目标投掷重轻炸弹各一枚；x31=0 ,x32=0 ，向 3 号目标不投掷炸弹；x41=46 ,x42=31 ，向 4 号目标投掷重型炸弹 46 枚，投掷轻型炸弹 31 枚剩余 1 枚重型炸弹。五、问题的分析1. 与单纯的轰炸其中一个目标相比编写相应程序（见附录 25）当前轰炸方案：0.99999999880820 重型炸弹 47 枚，轻型炸弹 32 枚，耗油量 45690 升只轰炸 1 号要害：0.99955858109597 重型炸弹 48 枚，轻型炸弹 32 枚，耗油量 40600 升只轰炸 2 号要害：0.99999991581077 重型炸弹 48 枚，轻型炸弹 32 枚，耗油量 42240 升只轰炸 3 号要害：0.99999315215466 重型炸弹 48 枚，轻型炸弹 32 枚，耗油量 40600 升只轰炸 4 号要害：0.99999999875365 重型炸弹 48 枚，轻型炸弹 30 枚，耗油量 45300 升

6、2. 问题的进一步分析从与单纯的轰炸其中一个目标相比，耗油量明显上升，如果在保证轰炸摧毁可能性的同时，控制耗油量，将很有意义，为此，改变模型中的目标函数与约束函数：model:min=537.5*x11+462.5*x12+560*x21+480*x22+605*x31+515*x32+650*x41+550*x42;537.5*x11+462.5*x12+560*x21+480*x22+605*x31+515*x32+650*x41+550*x42=48000;-0.1054*x11-0.0834*x12-0.2231*x21-0.1744*x22-0.1625*x31-0.1278*x32-0.2877*x41-0.2231*x42=-18.5;x11+x21+x31+x41=48;x12+x22+x32+x42=32;gin(x11);gin(x12);gin(x21);gin(x22);gin(x31);gin(x32);gin(x41);gin(x42);end选择-18.5的原因，保证摧毁的概率在 0.99999999（8位）以上，为控制精度的参数，可适当调节。新轰炸方案：用 3 枚轻型炸弹轰炸 2 号，用 47 枚重型炸弹轰炸 4 号目标，用 20 枚轻型炸弹轰炸 4 号目标。摧毁概率：0.99999999082790 耗 油 量：42990剩余 1 枚重型炸弹，9 枚轻型炸弹原轰炸方案： 摧毁概率：0.99999999880820 耗油量：45690剩余 1 枚重型炸弹由此可见，采用新得轰炸方案可以在不降低轰炸精度的前提下更好的节省油量，更具有实际意义。六、结论最优轰炸方案：用 3 枚轻型炸弹轰炸 2 号，用 47 枚重型炸弹轰炸 4 号目标，用 20 枚轻型炸弹轰炸 4 号目标。摧毁概率：0.99999999082790 耗油量：42990剩余 1 枚重型炸弹，9 枚轻型炸弹。本文给出的轰炸方案，能够有效的摧毁敌方目标，而且成本低，从各方面考虑了整个轰炸问题，有重要的实际意义。本文仅考虑了如何制定一个好的轰炸方案，没有考虑战机出动的顺序问题，在本文讨论的基础上，还可进一步制定一个详细的轰炸方案，首先用轰炸 4 号目标，然后轰炸 2 号目标。如果有更详细的资料，还可考虑飞机出动的批次问题。参考文献：附录 1附录 2附录 3附录 4附录 5

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