中考数学一轮复习提升练习第3.8讲 抛物线与几何综合题（考点精析+真题精讲）（含解析）

1、备战2024中考数学一轮复习第9讲抛物线与几何综合考向解读考点精析真题精讲题型突破专题精练第三章函数第8讲抛物线与几何综合考点精析真题精讲考向一抛物线与三角形有关问题考向二抛物线与线段有关问题考向三抛物线与角度有关问题考向四抛物线与四边形有关问题考向五抛物线与圆有关问题考向六抛物线与面积有关问题第9讲抛物线与几何综合二次函数是非常重要的函数,年年都会考查,总分值为1820分，预计2024年各地中考还会考,它经常以一个压轴题独立出现，有的地区也会考察二次函数的应用题，小题的考察主要是二次函数的图象和性质及或与几何图形结合来考查.考点精析1、函数存在性问题解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在2、函数动点问题（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同

2、位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算真题精讲考向一抛物线与三角形有关问题1（2023浙江金华统考中考真题）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点在直线上，与轴的交点为，其中点的坐标为直线与直线相交于点(1)如图2，若抛物线经过原点求该抛物线的函数表达式；求的值(2)连接与能否相等？若能，求符合条件的点的横坐标；若不能，试说明理由【答案】(1)；(2)能，或或或【分析】（1）先求顶点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解；过点作于点设直线为，把代入，得，解得，直线为同理，直线为联立两直线解析式得出，根据，由平行线分线段成比例即可求解；（2）设点的坐标为，则点的坐标为如图2-1，当时，存在记，则过点作轴于点，则在中，进而得出点的横坐标为6如图2-2，当时，存在记过点作轴于点，则在中，得出点的横坐

3、标为如图，当时，存在记过点作轴于点，则在中，得出点的横坐标为如图2-4，当时，存在记过点作轴于点，则在中，得出点的横坐标为【详解】（1）解：，顶点的横坐标为1当时，点的坐标是设抛物线的函数表达式为，把代入，得，解得该抛物线的函数表达式为，即如图1，过点作于点设直线为，把代入，得，解得，直线为同理，直线为由解得，（2）设点的坐标为，则点的坐标为如图，当时，存在记，则为的外角，过点作轴于点，则在中，解得点的横坐标为6如图2-2，当时，存在记为的外角，过点作轴于点，则在中，解得点的横坐标为如图2-3，当时，存在记，过点作轴于点，则在中，解得点的横坐标为如图2-4，当时，存在记，过点作轴于点，则在中，解得点的横坐标为综上，点的横坐标为【点睛】本题考查了二次函数综合运用，解直角三角形，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识，分类讨论是解题的关键2（2023内蒙古通辽统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作轴，垂足为D，连接如图，若点P在第三象限，且，求点P的坐标；直线交直线于点E

4、，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，请直接写出四边形的周长【答案】(1)；(2)或【分析】（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式，从而求得a，c，进而求得结果； （2）设，过点作于点，求出，根据列出方程求出的值即可；可推出四边形是菱形，从而得出，分别表示出和，从而列出方程，进一步求得结果【详解】（1）抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，把，代入得，解得，抛物线的函数解析式为；（2）设，过点作于点，如图，轴，又四边形是矩形，（不合题意，舍去）；设，对于，当时，解得，由勾股定理得，当点在第三象限时，如图，过点作轴于点，则四边形是矩形，点与点关于对称，轴，四边形是平行四边形，四边形是菱形，设直线的解析式为，把代入得，解得，直线的解析式为，,又且解得，（舍去）四边形的周长；当点在第二象限时，如图，同理可得：解得，（舍去）四边形的周长；综上，四边形的周长为或【点睛】本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是正确分类，作辅助线，表示出线段的数量3（2023重庆统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，

5、抛物线与轴交于点，与轴交于点，其中，(1)求该抛物线的表达式；(2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来【答案】(1)；(2)取得最大值为，；(3)点的坐标为或或【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解；（2）直线的解析式为，过点作轴于点，交于点，设，则，则，进而根据二次函数的性质即可求解；（3）根据平移的性质得出，对称轴为直线，点向右平移5个单位得到，勾股定理分别表示出，进而分类讨论即可求解【详解】（1）解：将点，代入得，解得：，抛物线解析式为：，（2）与轴交于点，当时，解得：，,设直线的解析式为，解得：直线的解析式为，如图所示，过点作轴于点，交于点，设，则，当时，取得最大值为，；（3）抛物线将该抛物线向右平移个单位，得到，对称轴为直线，点向右平移5个单位得到平移后的抛物线与轴交于点，令，则，,为平移后的抛物线的对称轴上任意一点则点的横坐标为，设

6、，当时，解得：或，当时，解得：综上所述，点的坐标为或或【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键4（2023湖北随州统考中考真题）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点(1)直接写出抛物线和直线的解析式；(2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值；(3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，为顶点的三角形与以，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)抛物线：；直线：；(2)或或；(3)，或，或，【分析】（1）由题得抛物线的解析式为，将点代入求，进而得抛物线的解析式；设直线的解析式为，将点，的坐标代入求，进而得直线的解析式（2）由题得，分别求出，对等腰中相等的边进行分类讨论，进而列方程求解；（3）对点在点左侧或右侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形的相似比求解，进而可得，的坐标【详解】（1）解：抛物线过点，抛物线的表达式为，将点代入上式

7、，得，抛物线的表达式为，即设直线的表达式为，将点，代入上式，得，解得直线的表达式为（2）解：点在直线上，且，点的坐标为，当为等腰三角形时，若，则，即，解得若，则，即，解得或（舍去）若，则，即，解得（舍去）或综上，或或（3）解：点与点相对应，或若点在点左侧，则，当，即时，直线的表达式为，解得或（舍去），即，即，解得，当，即时，即，解得（舍去）或（舍去）若点在点右侧，则，当，即时，直线的表达式为，解得或（舍去），即，解得，当，即时，即，解得或（舍去），综上，或，或，【点睛】本题是二次函数的综合应用，考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，平面直角坐标系中两点距离的算法，相似三角形的性质与判定等，熟练掌握相关知识是解题的关键考向二抛物线与线段有关问题5（2023甘肃武威统考中考真题）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止(1)求抛物线的表达式；(2)当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，判断四边形的形状，并说明理由(3)如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动连接，求的最小值【答案】(1)；(2)四边形是平行四边形，理由见解析；(3)【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）作交抛物线于点，垂足为，连接，由点在上，可知，连接，得出，则，当时，进而得出，然后证明，即可得出结论；（3）由题意得，连接在上方作，使得，证明，根据得出的最小值为，利用勾股定理求得，即可得解【详解】（1）解：抛物线过点，；（2）四边形是平行四边形理由：如图1，作交抛物线于点，垂足为，连接，点在上，连接，当时，轴，轴，四边形是平行四边形；（3）如图2，由题意得，连接在上方作，使得，（当，三点共线时最短），的最小值为，即的最小值为【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，平行四边形的性质与判

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