平面向量的数量积的性质
13页1、平面向量的数量积的性质【问题导思】已知两个非零向量a,b,为a与b的夹角.1.若ab0,则a与b有什么关系?【提示】ab0,a0,b0,cos 0,90,ab.2.aa等于什么?【提示】|a|a|cos 0|a|2.(1)如果e是单位向量,则aeea|a|cosa,e;(2)abab0;(3)aa|a|2即|a|;(4)cosa,b(|a|b|0);(5)|ab|a|b|.平面向量数量积的运算律(1)交换律:abba;(2)分配律:(ab)cacbc;(3)数乘向量结合律:对任意实数,(ab)(a)ba(b).向量的数量积运算(2013海淀高一检测)已知|a|5,|b|4,a与b的夹角为120,(1)求ab;(2)求a在b方向上的射影的数量.【思路探究】利用数量积的定义及几何意义求解.【自主解答】(1)ab|a|b|cos 54cos 12054()10.(2)|a|cos 5cos 120,a在b方向上的射影的数量为.1.在书写数量积时,a与b之间用实心圆点“”连接,而不能用“”连接,更不能省略不写.2.求平面向量数量积的方法(1)若已知向量的模及其夹角,则直接利用公式ab|a|b|
2、cos .(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影的数量,可利用数量积的几何意义求ab.1.(2013高一检测)已知|a|6,|b|3,ab12,则a在b方向上的射影的数量是()A.4B.4C.2D.2【解析】cos,向量a在向量b方向上的射影的数量为|a|cos64,故选A.【答案】A2.已知|a|6,e为单位向量,当向量a、e之间的夹角分别等于45,90,135时,分别求出ae及向量a在e方向上的正射影的数量.【解】当向量a和e之间的夹角分别等于45,90,135时,|a|e|cos 45613;|a|e|cos 906100;|a|e|cos 13561()3.当向量a和e之间的夹角分别等于45,90,135时,a在e方向上的正射影的数量分别为:|a|cos 6cos 453;|a|cos 6cos 900;|a|cos 6cos 1353.与向量模有关的问题已知向量a与b的夹角为120,且|a|4,|b|2,求:(1)|ab|;(2)|(ab)(a2b)|.【思路探究】利用aaa2或|a|求解.【自主解答】由已知ab|a|b|cos 42cos 1204,a2|a|21
3、6,b2|b|24.(1)|ab|2(ab)2a22abb2162(4)412,|ab|2.(2)(ab)(a2b)a2ab2b216(4)2412,|(ab)(a2b)|12.1.此类求模问题一般转化为求模平方,与数量积联系.2.利用aaa2|a|2或|a|,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.设e1、e2是夹角为45的两个单位向量,且ae12e2,b2e1e2,试求|ab|的值.【解】ab(e12e2)(2e1e2)3(e1e2),|ab|3(e1e2)|3|e1e2|333.与向量夹角有关的问题(2014高一检测)若向量a,b,c两两所成的角均为120,且|a|1,|b|2,|c|3,求向量ab与向量ac的夹角的余弦值.【思路探究】先利用已知条件,分别求出(ab)(ac),|ab|和|ac|的大小,再根据向量的夹角公式求解.【自主解答】(ab)(ac)a2abacbc112cos 12013cos 12023cos 120,|ab|,|ac|,cos ,所以向量ab与ac的夹角的余弦值是.1.求向量a,b夹角的流程图求|a|,|b|计算ab计算cos 结合0180,求解2.当题
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