平面向量的数量积的性质
平面向量的数量积的性质【问题导思】已知两个非零向量a，b，为a与b的夹角.1.若a·b0，则a与b有什么关系？【提示】a·b0，a0，b0，cos 0，90°，ab.2.a·a等于什么？【提示】|a|·|a|cos 0°|a|2.(1)如果e是单位向量，则a·ee·a|a|cosa，e；(2)aba·b0；(3)a·a|a|2即|a|；(4)cosa，b(|a|b|0)；(5)|a·b|a|b|.平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·bb·a；(2)分配律：(ab)·ca·cb·c；(3)数乘向量结合律：对任意实数，(a·b)(a)·ba·(b).向量的数量积运算(2013·海淀高一检测)已知|a|5，|b|4，a与b的夹角为120°，(1)求a·b；(2)求a在b方向上的射影的数量.【思路探究】利用数量积的定义及几何意义求解.【自主解答】(1)a·b|a|b|cos 5×4×cos 120°5×4×()10.(2)|a|cos 5×cos 120°，a在b方向上的射影的数量为.1.在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写.2.求平面向量数量积的方法(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b|a|b|cos .(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影的数量，可利用数量积的几何意义求a·b.1.(2013·高一检测)已知|a|6，|b|3，a·b12，则a在b方向上的射影的数量是()A.4B.4C.2D.2【解析】cos<a，b>，向量a在向量b方向上的射影的数量为|a|cos<a，b>6×4，故选A.【答案】A2.已知|a|6，e为单位向量，当向量a、e之间的夹角分别等于45°，90°，135°时，分别求出a·e及向量a在e方向上的正射影的数量.【解】当向量a和e之间的夹角分别等于45°，90°，135°时，|a|·|e|cos 45°6×1×3；|a|·|e|cos 90°6×1×00；|a|·|e|cos 135°6×1×()3.当向量a和e之间的夹角分别等于45°，90°，135°时，a在e方向上的正射影的数量分别为：|a|cos 6×cos 45°3；|a|cos 6×cos 90°0；|a|cos 6×cos 135°3.与向量模有关的问题已知向量a与b的夹角为120°，且|a|4，|b|2，求：(1)|ab|；(2)|(ab)·(a2b)|.【思路探究】利用a·aa2或|a|求解.【自主解答】由已知a·b|a|b|cos 4×2×cos 120°4，a2|a|216，b2|b|24.(1)|ab|2(ab)2a22a·bb2162×(4)412，|ab|2.(2)(ab)·(a2b)a2a·b2b216(4)2×412，|(ab)·(a2b)|12.1.此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系.2.利用a·aa2|a|2或|a|，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.设e1、e2是夹角为45°的两个单位向量，且ae12e2，b2e1e2，试求|ab|的值.【解】ab(e12e2)(2e1e2)3(e1e2)，|ab|3(e1e2)|3|e1e2|333.与向量夹角有关的问题(2014·高一检测)若向量a，b，c两两所成的角均为120°，且|a|1，|b|2，|c|3，求向量ab与向量ac的夹角的余弦值.【思路探究】先利用已知条件，分别求出(ab)·(ac)，|ab|和|ac|的大小，再根据向量的夹角公式求解.【自主解答】(ab)·(ac)a2a·ba·cb·c11×2×cos 120°1×3×cos 120°2×3×cos 120°，|ab|，|ac|，cos ，所以向量ab与ac的夹角的余弦值是.1.求向量a，b夹角的流程图求|a|，|b|计算a·b计算cos 结合0180°，求解2.当题目中涉及向量较多时，可用整体思想代入求值，不必分别求值，以避免复杂的运算.(1)(2014·师大附中高一检测)若向量a与b不共线，a·b0，且cab，则a与c的夹角为()A.0 B. C. D.(2)(2014·省四校高一联考)若|a|2，|b|4且(ab)a，则a与b的夹角是()A. B. C. D.【解析】(1)a·ca·a·aa·ba2a20，又a0，c0，ac，a与c的夹角为，故选D.(2)因为(ab)a，所以(ab)·aa2a·b0，即a·ba24，所以cos<a，b>，又因<a，b>0，所以a与b的夹角是 ，故选A.【答案】(1)D(2)A混淆两向量夹角为钝角与两向量数量积为负之间关系致误设两向量e1，e2满足：|e1|2，|e2|1，e1，e2的夹角为60°.若向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，数t的取值围.【错解】由已知得e1·e22×1×1，于是(2te17e2)·(e1te2)2te(2t27)e1·e27te2t215t7.因为2te17e2与e1te2的夹角为钝角，所以2t215t7<0，解得7<t<.【错因分析】当两向量反向共线时，其数量积为负，但夹角不是钝角而是平角.【防措施】若两向量的夹角为钝角，则这两向量的数量积为负；反之不成立，因为两向量反向共线时，夹角为平角，即180°，其数量积也为负.【正解】由已知得e1·e22×1×1，于是(2te17e2)·(e1te2)2te(2t27)e1·e27te2t215t7.因为2te17e2与e1te2的夹角为钝角，所以2t215t7<0，解得7<t<.但是，当2te17e2与e1te2异向共线时，它们的夹角为180°，也有2t215t7<0，这是不符合题意的.此时存在实数，使得2te17e2(e1te2)，即2t且7t，解得t±.故所数t的取值围是7，.1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0，b0,0°<90°时)，也可以为负(当a0，b0,90°<180°时)，还可以为0(当a0或b0或90°时).2.数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c|a|b|cosa，b·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b|a|c|cosa，c·b是一个与b共线的向量，两者一般不同.3.a在b方向上的射影与b在a方向上的射影是不同的，应结合图形加以区分.1.对于向量a，b，c和实数，下列命题中正确的是()A.若a·b0，则a0或b0B.若a0，则a0或0C.若a2b2，则ab或abD.若a·ba·c，则bc【解析】由向量数量积的运算性质知A、C、D错误.【答案】B2.(2013·高考)若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为_.【解析】由|a|a2b|，两边平方，得|a|2(a2b)2|a|24|b|24a·b，所以a·b|b|2.又|a|3|b|，所以cosa，b.【答案】3.已知|a|4，|b|6，a与b的夹角为60°，则向量a在向量b方向上的射影是_.【解析】向量a在向量b方向上的射影是|a|cos 60°4×2.【答案】24.已知|a|4，|b|5，当(1)ab；(2)ab；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积.【解】(1)当ab时，若a与b同向，则0°，a·b|a|b|cos 0°4×520；若a与b反向，则180°，a·b|a|b|cos 180°4×5×(1)20.(2)当ab时，<a，b>.a·b|a|b|cos4×5×00.(3)当a与b的夹角为30°时，a·b|a|b|cos 30°4×5×10.一、选择题1.|a|1，|b|2，cab且ca，则a与b的夹角为()A.30°B.60°C.120° D.150°【解析】ca，设a与b的夹角为，则(ab)·a0，所以a2a·b0，所以a2|a|b|cos 0，则12cos 0，所以cos ，所以120°.故选C. 【答案】C2.若向量a与b的夹角为60°，|b|4，且(a2b)·(a3b)72，则a的模为()A.2B.4 C.6D.12【解析】(a2b)·(a3b)a2a·b6b2|a|2|a|·|b|cos 60°6|b|2|a|22|a|9672，|a|22|a|240，|a|6.【答案】C3.ABC中，·0，则ABC是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形【解析】·|cos A0，cos A0.A是钝角.ABC是钝角三角形.【答案】C4.(2014·怀远高一检测)已知i与j为互相垂直的单位向量，ai2j，bij且a与b的夹角为锐角，则实数的取值围是()A.(，2)B.C.D.【解析】a·b(i2j)·(ij)120，又a、b同向共线时，a·b0，设此时akb(k0)，则i2jk(ij)，2，a、b夹角为锐角时，的取值围是(，2)，故选A.【答案】A5.(2014·皖南八校高一检测)在OAB中，已知OA4，OB2，点P是AB的垂直平分线l上的任一点，则·()A.6B.6 C.12D.12【解析】设AB的中点为M，则·()··()·(O)(22)6.故选B.【答案】B二、填空题6.(2014·北大附中高一检测)向量a与b的夹角为120°，|a|1，|b|3，则|5ab|_.【解析】因为a·b|a|b|cos 120°，所以|5ab|225a210a·bb22510×949，所以|5ab|7.【答案】77.已知ab，|a|2，|b|3，且3a2b与ab垂直，则等于_.【解析】(3a2b)(ab)
