(完整word版)高代下试卷期末
7页1、2014-2015学年第二学期几何与高等代数(下)期末试卷(2014级数学类专业)班级学号姓名得分一、判断题(每小题3分,满分15分)1 线性变换A EndK(V)可对角化,当且仅当V是A的特征子空间的 直和。()2. n阶多项式矩阵A()可逆的充分必要条件是A()满秩。()3. 设A为欧氏空间V上的对称变换,则A的特征值都为实数,且属于A的不同特征值的特征向量必正交。()1113 0 04. 设A 1 1 1 , B 0 00,则A与B相合且相似。()1 1 10 0 05. 设n阶矩阵A、B相似,则A、B具有相同的不变因子组,但反之不成立。()二、填空题(每小题3分,满分15分)1. 以原点为顶点,准线为x2 y z 0y z 10的锥面方程是。2. 设V R3,x1,X2,X3 ,y1.y2.y3,则 V 上双线性函数f(,)人力 2x1 y2 2x2y3 3x3y2 Xsy?关于自然基1, 2, 3的度量矩阵为。3. 设3阶方阵A的三个特征值为1,3,1,则| A E |。34设f (x) x3 x2 x 1, g(x) x4 1,贝U它们的最大公因式#f (X), g(x)o
2、1 0025. A( )00的初等因子组为0 0(1)3o三、计算题(每小题10分,共40分)1.化简二次曲线方程:2x2 4xy 5y212x 24y 120 ,并写出对应的坐标变换公式。#1t11002设实对称矩阵 At10 与 B020 相似,101000(1)求t的值;2)求正交矩阵 T ,使得 T 1AT B#3设对称多项式:f(x1 ,x2 ,x3 ) x1 x22 x1 x32 x12x2 x12x3 x2x32 x22 x3(1)将 f(x1 , x2 , x3 )按字典序重新排列;(2)用初等对称多项式表示 f (x1,x2,x3) 。0 1 04设 A4 4 0 ,(1)求 E A 的正规形;2122)求 A 的不变因子、初等因子、极小多项式以及若尔当典范形四、证明题(每小题 10 分,共 30 分)1.设 f(x),g(x)互素,即(f(x), g(x)1,试证明:若 f (x) | g(x)h(x),则 f(x)|h(x)。2 设A是m n实矩阵,B kE A A,试证明:(1) AtA是半正定矩阵;(2)当k 0时,B为正定矩阵3 设m()是矩阵A的极小多项式,f()是任一次数大于零的多项式,又d( ) (f( ),m( ),试证明:(1) rankd(A) rank f(A);(2)f(A)可逆的充要条件是(f( ),m( )1。
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