(完整word版)高代下试卷期末

2014-2015学年第二学期几何与高等代数（下）期末试卷（2014级数学类专业）班级学号姓名得分一、判断题（每小题3分，满分15分）1 线性变换A EndK（V）可对角化，当且仅当V是A的特征子空间的 直和。（）2. n阶多项式矩阵A（）可逆的充分必要条件是A（）满秩。（）3. 设A为欧氏空间V上的对称变换，则A的特征值都为实数，且属于A的不同特征值的特征向量必正交。（）1113 0 04. 设A 1 1 1 , B 0 00，则A与B相合且相似。（）1 1 10 0 05. 设n阶矩阵A、B相似，则A、B具有相同的不变因子组，但反之不成立。（）二、填空题（每小题3分，满分15分）1. 以原点为顶点，准线为x2 y z 0y z 10的锥面方程是。2. 设V R3,x1,X2，X3 ,y1.y2.y3，则 V 上双线性函数f（,）人力 2x1 y2 2x2y3 3x3y2 Xsy?关于自然基1, 2, 3的度量矩阵为。3. 设3阶方阵A的三个特征值为1，3，1，则| A E |。34设f （x） x3 x2 x 1， g（x） x4 1，贝U它们的最大公因式#f (X), g(x)o1 0025. A( )00的初等因子组为0 0(1)3o三、计算题（每小题10分，共40分）1.化简二次曲线方程：2x2 4xy 5y212x 24y 120 ,并写出对应的坐标变换公式。#1t11002设实对称矩阵 At10 与 B020 相似，101000(1)求t的值；2)求正交矩阵 T ，使得 T 1AT B#3设对称多项式：f(x1 ,x2 ,x3 ) x1 x22 x1 x32 x12x2 x12x3 x2x32 x22 x3(1)将 f(x1 , x2 , x3 )按字典序重新排列；(2)用初等对称多项式表示 f (x1,x2,x3) 。0 1 04设 A4 4 0 ，(1)求 E A 的正规形；2122)求 A 的不变因子、初等因子、极小多项式以及若尔当典范形四、证明题(每小题 10 分，共 30 分)1.设 f(x),g(x)互素，即(f(x), g(x)1，试证明:若 f (x) | g(x)h(x)，则 f(x)|h(x)。2 设A是m n实矩阵，B kE A A，试证明：(1) AtA是半正定矩阵；(2)当k 0时，B为正定矩阵3 设m()是矩阵A的极小多项式，f()是任一次数大于零的多项式，又d( ) (f( ),m( ),试证明：(1) rankd(A) rank f(A)；(2)f(A)可逆的充要条件是(f( ),m( )1。