高中数学论文:高考题中的新“主角”—导数
5页1、高考题中的新“主角”导数导数是高中数学新课程中的新增内容,它是微积分的初步知识,是研究函数、解决实际问题的有力工具从近几年高考来看,对导数这部分内容的考查力度逐年加强,是新增内容的主要得分点命题的热点主要是:考查导数的几何意义;考查利用导数解决有关函数的单调性问题;考查利用导数解决有关函数的极值问题;考查利用导数解决有关函数的最值问题;考查导数在实际问题中的应用;考查导数与其它知识相融合的综合问题基于以上认识,下文通过例题加以详述一、考查导数的几何意义【例1】(05北京卷理12)过原点作曲线的切线,则切点的坐标为;切线的斜率为解:设切点为,则切线的斜率为,切线方程是 切线过原点,从而切点为,切线斜率是点评:函数在点处的导数的几何意义,就是曲线在点处的切线的斜率,切线方程是注意:切点既在切线上,又在曲线上二、考查利用导数解决有关函数的单调性问题【例2】(05福建19)已知函数的图象在点处的切线方程为.(1)求函数的解析式;(2)求函数的单调区间.解:(1)略解由点在切线上可得又且由得,所以所求的函数解析式为(2)由得,;由得,或函数的递增区间是递减区间是和【例3】(05湖南卷理21)已知
2、函数, (1)若,且函数存在单调递减区间,求的取值范围解:当时,则函数存在单调递减区间有解又,则有的解当时,为开口向上的抛物线,总有的解;当时,为开口向下的抛物线,而有的解,则,且方程至少有一正根此时,综上述,的取值范围为点评:导数的引进为解决某些复杂函数的单调性问题提供了有效途径对于区间D内的可导函数,(1)若时,都有,则在D内是增函数;若时,都有,则在D内是减函数(2)若函数在D内是增函数,则时,恒有;若 在D内是减函数,则时,恒有(注意此结论成立的前提条件是:在区间D的任何子区间内不恒为零)三、考查利用导数解决有关函数的极值问题【例3】(05重庆卷理19)已知,讨论函数的极值点的个数解:,令,得当,即或时,方程有两个不同的实数根、不妨设因为当时,;当时,;当时,函数有两个极值点当即或时,方程有两个相同的实数根,于是,故当时,;当时,因此函数无极值当,即时,恒有,故函数为增函数,此时无极值综上述,当或时,函数有两个极值点;当时,函数无极值点评:对于可导函数 ,把满足的点称为函数的驻点切记两个结论:(1)可导函数的极值点一定是它的驻点;(2)可导函数的驻点不一定是极值点求可导函数的极
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