高中数学论文：高考题中的新“主角”—导数
高考题中的新“主角”导数导数是高中数学新课程中的新增内容，它是微积分的初步知识，是研究函数、解决实际问题的有力工具从近几年高考来看，对导数这部分内容的考查力度逐年加强，是新增内容的主要得分点命题的热点主要是：考查导数的几何意义；考查利用导数解决有关函数的单调性问题；考查利用导数解决有关函数的极值问题；考查利用导数解决有关函数的最值问题；考查导数在实际问题中的应用；考查导数与其它知识相融合的综合问题基于以上认识，下文通过例题加以详述一、考查导数的几何意义【例1】（05·北京卷·理12）过原点作曲线的切线，则切点的坐标为；切线的斜率为解：设切点为，则切线的斜率为，切线方程是 切线过原点，从而切点为，切线斜率是点评：函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，切线方程是注意：切点既在切线上，又在曲线上二、考查利用导数解决有关函数的单调性问题【例2】（05·福建·19）已知函数的图象在点处的切线方程为.(1)求函数的解析式；(2)求函数的单调区间.解：(1)略解由点在切线上可得又且由得，所以所求的函数解析式为(2)由得，；由得，或函数的递增区间是递减区间是和【例3】（05·湖南卷·理21）已知函数， (1)若，且函数存在单调递减区间，求的取值范围解：当时，则函数存在单调递减区间有解又，则有的解当时，为开口向上的抛物线，总有的解；当时，为开口向下的抛物线，而有的解，则，且方程至少有一正根此时，综上述，的取值范围为点评：导数的引进为解决某些复杂函数的单调性问题提供了有效途径对于区间D内的可导函数，(1)若时，都有，则在D内是增函数；若时，都有，则在D内是减函数(2)若函数在D内是增函数，则时，恒有；若 在D内是减函数，则时，恒有(注意此结论成立的前提条件是：在区间D的任何子区间内不恒为零)三、考查利用导数解决有关函数的极值问题【例3】（05·重庆卷·理19）已知，讨论函数的极值点的个数解：，令，得当，即或时，方程有两个不同的实数根、不妨设因为当时，；当时，；当时，函数有两个极值点当即或时，方程有两个相同的实数根，于是，故当时，；当时，因此函数无极值当，即时，恒有，故函数为增函数，此时无极值综上述，当或时，函数有两个极值点；当时，函数无极值点评：对于可导函数 ，把满足的点称为函数的驻点切记两个结论：(1)可导函数的极值点一定是它的驻点；(2)可导函数的驻点不一定是极值点求可导函数的极值法则：先求函数的驻点，再判断函数驻点左右两侧的符号，若的符号相反，则驻点是极值点；若的符号相同，则驻点不是极值点.四、考查利用导数解决有关函数的最值问题【例4】（05·全国卷·理22）已知，函数(1)当为何值时，取得最小值？证明你的结论解：令，则，解得，从而有下表+00+极大值极小值在处取得极大值，处取得极小值，当时，而当时，且在为减函数，在为增函数当时，取最小值点评：连续函数在闭区间上必有最值求函数在闭区间上的最值可分两步进行：(1)求在内的极值；(2)将极值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值注意：利用导数求函数在开区间上的最值时，一定要根据函数单调性、连续性以及函数值的符号来判断，一般最值在极值点取得(如本题)五、考查导数在实际问题中的应用【例5】（04·福建·理16）如图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（图2）当这个正六棱柱容器的底面边长为时，其容积最大 图1图2解：设正六棱柱的底面边长为，则容器高为容积由，得当时，时，由实际问题的意义可知，当时，取最大值为点评：解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数把实际问题译为数学语言，抽象成数学问题，选择合适的数学方法求解，尤其要注意使用导数解决最优化的问题及即时速度、边际成本问题，可使复杂问题简单化注意：在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形，如果函数在这点有极值，那么极值就是最值六、考查导数与其它知识相融合的综合问题【例6】（01·北京春季）在1与2之间插入个正数，使这个数成等比数列；又在1与2之间插入个正数，使这个数成等差数列记，(1)求数列和的通项；(2)当时，比较和的大小，并证明你的结论解：(1)略解. (2)构造函数()，则又在上单调递增即，也就是()点评：导数的引进为不等式的证明提供了新途径，本题的关键在于构建函数 另外，数列作为一种特殊函数，也经常可以通过导数来解决相关的问题，主要在于构造一个合理的函数，再根据函数的性质来研究数列问题导数还可以与解析几何融合，体现了代数与几何的完美结合注意：欲用导数，先构造函数小结：导数作为一类特殊函数，为研究函数的单调性、极值、最值、图象、曲线的切线等问题开辟了新的途径，成为勾通函数与数列、不等式、圆锥曲线等问题的一座桥梁；其重要性不言而喻，在近几年高考中，也得以充分体现由导数引出的各类综合题必将会是今后高考的重点内容，在平时教学中应给予足够重视第 1 页 共 5 页
