福建师范大学21秋《常微分方程》综合测试题库答案参考55
17页1、福建师范大学21秋常微分方程综合测试题库答案参考1. 在有界闭区域D上的多元初等函数,必取得介于最大值和最小值之间的任何值。( )A.正确B.错误参考答案:A2. 试证明: 设f(x)在R1上具有介值性,若对任意的rQ,点集xR1:f(x)=r必为闭集,则fC(R1)试证明:设f(x)在R1上具有介值性,若对任意的rQ,点集xR1:f(x)=r必为闭集,则fC(R1)证明 反证法,假定x0R1是f(x)的不连续点,即存在00以及xnx0(n),使得 |f(xn)-f(x0)|0,|xn-x|1/n 不妨设f(x0)f(x0)+0f(xn)(nN),取rQ:f(x0)rf(x0)+,则由题设知,存在n(位于x0与xn之间),使得f(n)=r现在令n,根据点集x:f(x)=r的闭集性,可知f(x0)=r这一矛盾说明fC(R1) 3. 设函数f和g分别为f(x)=2x+1,g(x)=x2-2,试找出定义复合函数的数学公式设函数f和g分别为f(x)=2x+1,g(x)=x2-2,试找出定义复合函数的数学公式因为f(x)=2x+1,g(x)=x2-2, 所以=g(f(x)=g(2x+1)=(2x
2、+1)2-2 =4x2+4x+1-2=4x2+4x-1 4. 就p,q的各种情况说明二次曲面zx2py2qz2的类型就p,q的各种情况说明二次曲面zx2py2qz2的类型正确答案:(1)pq0时zx2是抛物柱面;rn(2)q0p0时若p0zx2py2是椭圆抛物面若p0zx2py2是双曲抛物面;rn(1)pq0时,zx2,是抛物柱面;(2)q0,p0时,若p0,zx2py2是椭圆抛物面,若p0,zx2py2是双曲抛物面;5. 已知向量a=(1,-11),b=(2,0,1)c=(0,1,3),则由这3个向量所张成的平行六面体的体积是_。已知向量a=(1,-11),b=(2,0,1)c=(0,1,3),则由这3个向量所张成的平行六面体的体积是_。76. 曲线y=x5+5x3-x-2的拐点为_曲线y=x5+5x3-x-2的拐点为_(0,-2)7. R为含幺环,a,bR,且a-1,b-1R,证明:(ab)-1=b-1a-1R为含幺环,a,bR,且a-1,b-1R,证明:(ab)-1=b-1a-1(ab)(b-1a-1)=a(bb-1)a-1=aa-1=1 (b-1a-1)(ab)=b-1(a-1
3、a)b=b-1b=1 于是b-1a-1是ab的逆元,即(ab)-1=b-1a-1 8. 描绘函数y=e-x2图形(图3-1)。描绘函数y=e-x2图形(图3-1)。该函数的定义域为(-,+),且函数为偶函数,因此,只要作出它在(0,+)内的图形,即可根据其对称性得到它的全部图形。 求其一、二阶导数,得 y=-2xe-x2 y=2e-x2(2x2-1), 令y=0,得驻点x=0, 令y=0,得, 当x时y0,所以y=0为该函数图形的水平渐近线。 讨论y,y的正负情况,确定函数y=e-x2的增减区间和极值、凹凸区间和拐点,将上述结果归结为表3-16。 根据以上讨论,即可描绘所给函数的图形。 9. 下列结论正确的是( )A.若|f(x)|在x=a点处连续,则f(x)在x=a点也必处连续B.若f(x)2在x=a点处连续,则f(x)在x=a点也必处连续C.若f(x)3在x=a点处连续,则f(x)在x=a点也必处连续D.若f(x)在x=a点处连续,则1/f(x)在x=a点也必处连续参考答案:C10. 问正方形的下列性质哪些是仿射性质? (1)对边平行; (2)四角相等; (3)四边相等;问正方形的
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