高考数学复习函数概念与基本初等函数
35页1、第二章函数概念与基本初等函数 2.1 映射、函数、反函数一、知识导学1 .映射:般地,设A、B 两个集合,如果按照某种对应法则-,对于集合A 中的任何一个元素,在集合B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的单值对应叫做集合A 到集合B 的映射,记作f:A-B.(包括集合A、B 及A 到B 的对应法则)2 .函数:设A,B 都是非空的数集,如果按某种对应法则/,对于集合A 中每一个元素X,在集合B 中都有唯一的元素和它对应,且B 中每一个元素都的原象,这样的对应叫做从集合A 到集 合 B 的一个函数,记 作 y =/(x).其中所有的输入值x组成的集合A 称 为 函 数=/(x)定义域.对于A中的每一个x,都有一个输出值y与之对应,我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.3 .反函数:一般地,设函数y=f(x)(x G A)的值域是C,根据这个函数中x,y 的关系,用y 把 x 表示出来,得到x=l(y).若对于y 在 C中的任何一个值,通过x在 A中都有唯一的值和它对应,那么x=f T(y)就表示y 是自变量,x 是自变量y的函数,这样的函数叫做函数y=f(x)(x G A)的反函
2、数,记作x=f T(y).我们一般用x 表示自变量,用 y表示函数,为此我们常常对调函数乂=仔1(丫)中的字母x,y,把它改写成y=f T(x)反函数y=f T(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.二、疑难知识导析1 .对映射概念的认识(1)与是不同的,即二与三上有序的.或者说:映射是有方向的,(2)输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值.集合A中每一个输入值,在集合B中必定存在唯一的输出值.或者说:允许集合B中有剩留元素;允许多对一,不允许一对多.(3)集合A,B可以是数集,也可以是点集或其它类型的集合.2 .对函数概念的认识(1)对函数符号/(x)的理解知道y=/(x)与/(x)的含义是一样的,它们都表示;是式的函数,其中工是自变量,/(x)是函数值,连接的纽带是法则$.士是单值对应.(2)注意定义中的集合A,B都是非空的数集,而不能是其他集合;(3)函数的三种表示法:解析法,列表法,和图像法.3.对反函数概念的认识(1)函数y=/(x)只有满足是从定义域到值域上一一映射,才有反函数;(2)反函数的定义域和值域分别是原函数的
3、值域和定义域,因此反函数的定义域一般不能由其解析式来求,而应该通过原函数的值域而得.(3)互为反函数的函数有相同的单调性,它们的图像关于y=x 对称.三、经典例题导讲 例 1 设 1 4=a,b,c ,N=-2,0,2 ,求 从 M到 N的映射种数;(2)从 M到 N的映射满足/(a)/(b)f(c),试确定这样的映射/的种数.错因:没有找全满足条件的映射个数,关健是对概念认识不清正解:(1)由于M=a,b,c ,N=-2,0,2),结合映射的概念,有一共有2 7 个映射ci-0 a-2(I-2 ci-2(2)符合条件的映射共有4个6-2,2-2,伊-0c f -2 c f -2 c f -2,2 0,c-0 例 2 已知函数/(x)的定义域为 0,1 ,求函数/(x +1)的定义域错解:由于函数/(x)的定义域为 0,1 ,即O W x W I,+./。+1)的定义域是 1,2 错因:对函数定义域理解不透,不明白/(x)与/&*)定义域之间的区别与联系,其实在这里只要明白:/(x)中x取值的范围与/(3)中式子u(x)的取值范围一致就好了.正解:由于函数/(x)的定义域为 0,1,即
4、OWx K l /(x +1)满足.O W x +l W l-i V x K O,.,./(x +1)的定义域是 1,0*f x-5(x 6)例 3 已知:x e N*,/(x)=:二,求/(3).f(x+2)(x 6)错解:x)=,./(x+2)=(x+2)5=x-3l/U +2)(x 6)故/(x)=。,/=3 3=0.x-3 (x 6)错因:没有理解分段函数的意义,/(3)的自变量是3,应代入/(x +2)中去,而不是代入X-5中,只有将自变量化为不小于6的数才能代入解析式求解.正解:/(x)=,x 5/(x+2)(xN6)(x 6)/(3)=3 +2)=/(5)=/(5+2)=/(7)=7-5=2 例4已知/(x)的反函数是尸(x),如果/(x)与/i(x)的图像有交点,那么交点必在直线y=x上,判断此命题是否正确?错解:正确错因:对互为反函数的图像关于直线y=x对称这一性质理解不深,比如函数3;=(,),与),=08,%的图像的交点中,点(;,;),(;,;)不在直线卜=;:上,由此可以说1 6明”两互为反函数图像的交点必在直线y=x上”是不正确的.例 5求函数 y=/(x)
5、=Y _ 4x+6,x e l,5)的值域.错解:./(1)=124x1+6=3,/(5)=524x5+6=11又x e 1,5),./(X)的值域是 3,11)错因:对函数定义中,输入定义域中每一个x值都有唯一的y值与之对应,错误地理解为x的两端点时函数值就是y的取值范围了.正解:配方,得y=/(x)=x24x+6=(x 2月+2VX G 1,5),对称轴是x=2;.当x=2时,函数取最小值为/(2)=2,/(x)/(5)=ll /(x)的值域是 2,11)例6已知/(X)=3x+4,求 函 数 尸(x+1)的解析式.错解:由已知得了(x+l)=3(x+l)+4=3x+7y =3 x +7 Mx=,;/(x+l)=-x-7错因:将函数/T(x+1)错误地认为是/(x +l)的反函数,是由于对函数表达式理解不透彻所致,实际上/(x +1)与/T(X+1)并不是互为反函数,一般地应该由/(x)先求/T(X),再去得到/T(X+1).v*4正解:因为/(x)=3 x +4的反函数为/T(X)=,所以/T(X+1)=(X+;4=2 =;X_ 例7根据条件求下列各函数的解析式:(1)已知/(x
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