高等数学讲稿1

1、课程名称：高等数学授课时间：2009-2010学年第一学期(第五至第二十周，二 1/2,四 1/2,五 3/4)授课地点：J102授课班级：机械 0901、0902、0903、0904第一章函数与极限函数是现代数学的基本概念之一，是高等数学的主要研究对象.极限概念是微积分的理论基础，极限方法是微积分的基本分析方法，因此，掌握、运用好极限方法是学好微积分的关键。本章将介绍函数与极限的基本知识和有关的基本方法，为今后的学习打下必要的基础.第 一 节 函 数在现实世界中，一切事物都在一定的空间中运动着.17世纪初，数学首先从对运动(如天文、航海问题等)的研究中引出了函数这个基本概念.在那以后的二百多年里，这个概念在几乎所有的科学研究工作中占据了中心位置.本节将介绍函数的概念、函数关系的构建与函数的特性.内容要点一、集合集合的概念、运算；有限区间，无限区间；领域的定义、中心、半径。二、映射映射的概念，满射、单射、双射。三、函数的概念函数是描述变量间相互依赖关系的种数学模型 函数的定义、图形、表示法。四、函数特性函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性。五、反函数：反函数的概念；函数存在反函数的条件

2、；在同一个坐标平面内，直接函数y=/(x)和反函数y=夕(x)的图形关于直线y=x 是对称的.六、基本初等函数：界函数；指数函数：对数函数；三角函数；反三角函数.七、复合函数的概念八、初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用个式子表示的函数，称为初等函数.初等函数的基本特征：在函数有定义的区间内初等函数的图形是不间断的.九、双曲函数和反双曲函数的概念.十、数学建模函数关系的建立为解决实际应用问题，首先要将该问题量化，从而建立起该问题的数学模型，即建立函数关系：依题意建立函数关系；依据经验数据建立近似函数关系。例题选讲函数举例例 1 绝对值函数)，=5 1=卜-x,x 0定义域 D=(-0 0,+0 0),值 域 匕=0,+0 0).注：常用绝对值的运算性质：1划1=|巾|；申=：；H-M|x y|0,贝 I a-ax a-xax-a.例2判断下面函数是否相同，并说明理由.(1)y=1 与 y=si r r x +c o s-x;(2)y=2 x +1 与 x =2 y+1.解(1)虽然这两个函数的表现形式不同，但它们的定义域(-8,+8)与对应

3、法则均相同，所以这两个函数相同.(2)虽然它们的自变量与因变量所用的字母不同，但其定义域(-),)和对应法则均相同(如图)，所以这两个函数相同.分段函数举例在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的表达方式来表示的函数，称为分段函数.(1)符号函数1,x0,y-sg n x =0,x =0,x =sg n x.x .1,x 1.21例 3 求 函 数y=,-1-x2解+/宝 的 定 义 域.1-X2 H 0=元+2 2 0 1x -iD -2,-1)u (1,1)k J (l,4-o o).例 4求函数/(x)=l g 0二义+J5+4X Y的定义域.si n x解 要 使 有 意 义，显然x要满足：3-x 0 0 x 3 x h(人为整数)所以“X)的定义域为Df=x x 3,x 3,x 0 =-1,0 u (0,3).例 5设/(X)=,1,0 x 1-2,1 x 2 求函数/(X +3)的定义域.解f(x)=1,0 xl 2,1 x 2/(x +3)=1,0X+312,1 x +3 4 21,-3 4 x 4 22,-2 x =上 在(0,1)上是无界的.X证因为(1-N)2 w

4、 o,所以|l +x 2 2纲，故|/(x)|=|云:=4普对一切X (-8,+0 0)都成立.由上可知题设函数在(-0 0,+0 0)上是有界函数.(2)对于无论怎样大的M 0,总可在(0,1)内找到相应的X.例如取x0=,1 e (0,1),VM+1使得|/(/)|=-1=M+MX0 (12VM+I3所以/(x)=(在(0,1)上是无界函数.X例 7证明函数)，=上 在(-1,+8)内是单调增加的函数.14-X证 在(-1,8)内任取两点七,出，且不 0,1+。2，又因为再一为(-y)=l,D(l-V 2)=0,D(D(x)=l,函数是单值、有界的，偶函数，但不是单调函数,是周期函数，但无最小正周期.例 1 0 若/(x)对其定义域上的一切，恒有f(x)=f(2a-x),则称/(x)对称于x =a.证明：若/(x)对称于x =a 及 x =b(a J+4 x的反函数.1 4-7 1 +4%解令 z =J l +4x,则 y=故 z1 +z匕 士 即 疝 嬴 二 匕21+V1+V解得T片(1 +)产改变变量的记号，即得到所求反函数:(1+无产yX例1 2已知sg n x =v1,x

5、00,X =O (符号函数)1,x 0求y=(l +x 2)s g n x的反函数.解由题设，易得y=(l +x2)sg n x =00,x =0 (=(1 +%2),x 00,-J-(i +y)，y Tx =10,x =0 .J-(1 +X),X 1函数的复合例13设 y f(i 4)-ar c tan w ,u =(p(t)=+,t =y/x)=x2-,求/例 以 x).解/例(幻 =ar c tan u=ar c tan11 7=-ar c tan ；=例1 4将下列型竺成基本初等函数的复合.(1)j =V l n si n2x;(2)yue c tan./；(3)y=c o s2 1 n(2 +J l +).解(l)y=J l n si n?x是由y=八,w =I n v,v=w2,w =si n x四个函数复合而成；y =r ct a n?是 由 产e u =a r ct a nv,v =x2三个函数复合而成；(3)y =co s 2 1n(2 +J 1+/2)是 由=2,w _c osv,v =Ini v,w =2 +f,t =4h,h =l+x2六个函数复合在而成.分段函

6、数的复合运算5e例1 5设/(x)x(,必x 1 ，)=，I x +_ 2,xM O 0求,四 机*),e(x)解fpM=(1)当 s(x)1 时，或x 0,夕(无)=x +2 x -1,或x 2 0,9(x)=x210X(2)当 1 时，或x 0，s(尤)=x +221 n 14x 41.2,x-所以/S(x)=，x+2,-1 4 x 0Z-1,0 x 42例 16 设/(+工=苫2+乂,求/(%).k X)X解 因 为/工 +_ =/+：=工+-)-2,所 以/(%)=炉 2.课堂练习1.用分段函数表示函数y=3-x-l.2 .判别函数/(x)=,*+x，*2的奇偶性.一 元 +x,x=/()=6，u=g(x)=x-x2;(2)y =/(w)=Inw,u=(x)=s i nx-1.4.分 析 函 数y =Va r ct a nco s e2x的复合结构.6第二节极限1.2.1数列极限极限思想是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.例如，我国古代数学家刘徽(公元3世纪)利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法-割圆术(参看光盘演示)，就是极限思想在几何学上的应用.又如，春秋战国时期的哲学

7、家庄子(公元4世 纪)在 庄子.天下篇一书中对“截丈问题”(参看光盘演示)有一段名言：“一尺之梅，日截其半，万世不竭”,其中也隐含了深刻的极限思想.极限是研究变量的变化趋势的基本工具，高等数学中许多基本概念，例如连续、导数、定积分、无穷级数等都是建立在极限的基础上.极限方法又是研究函数的一种最基本的方法.本节将首先给出数列极限的定义.内容要点一、数列的定义二、数列的极限-N论证法，其论证步骤为：(1)对于任意给定的正数,令(2)由上式开始分析倒推，推 出 夕();(3)取N=S(),再 用 语 言 顺 述 结 论.三、收敛数列的有界性四、极限的唯一性五、收敛数列的保号性六、子数列的收敛性例题选讲数列的极限例1(E01)下列各数列是否收敛，若收敛，试指出其收敛于何值.卜;.卜 (-D叫；(4).解(D数歹2即为2,4,8,2,易见，当无限增大时，2也无限增大，故该数列是发散的;(2)数歹IJ 即为7易见，当无限增大时，1无限接近于0,故该数列是收敛于0;n 数 列 （-1）叫 即 为1,-1,1,-1,易见,当“无限增大时，（-1）“无休止地反复取1、-1 两个数，而不会接近于任何一个确

8、定的常数,故该数列是发散的；（4）数歹|J 一即为2 3 n-易见，当无限增大时，上1无限接近于1,故该数列是收敛于1.n例 2(E 02)证明 li m-+(-1)=1.“一 8 n 0,要使 I X,-1 1 ，只要！8证因 对 任 给 0,对于一切自然数，恒 有 1%一。1=1。一（7 1=0 oo注：用定义证数列极限存在时，关键是：对任意给定的 0,寻找N,但不必要求最小的N.8例 4证明li mq =0,其中lqloo证 任给 0,若q=0,则 li mq =li m0 =0;若0 lql l,欲使lx“一O l=lq loo n 00I n p I n p必须 lnlql-，故对任给 0,若取N =-，则当N 时，就有I nlql|_ ln I q l _I/-0l 0,S.li m xf l=a 0,求证 li m Jx =4a.一 8 8 丫证任给 0,由gm牛，区手也 +la要使I-G 1 ,即要 I G l 0,m N 0,当“N 时，1&,“Too从而当N 时，恒有I 7-4a ,故 li m=-fa.例 6用数列极限定义证明li m-_-=-一“T8 l-3n

9、3证由于5 a _ rl-3n(1 79 n-31 7(2 1),只要-1 7 +上1.因此，对任给的 0,取 =/31 7 1+-，则 N 时,9 s 3 8 1 -3n23n -2例 7(E 0 3)用数列极限定义证明l i m-.=1.7 8 n+”+1、T +工 2-2 ,3+r t n +n 2.o.n2-2 .证 由于-1 =-3),要 使-1 ,n+n +1 n +n +n n n +n +l只要2 2,因此，对任给的 0,取N=2,当“N时，有n s 2 一2 2 +1-1 0,存 在N 0,当n-o on N时，恒有I x“一 A l ,由于I I乙I 一 I A 1区x“一 A I,故N时，恒有I A Illx“I I A I Ke,从而有I A I 1演1 N时,2I A I恒 有1招1 .证毕.2例9 (E 0 5)证明数列x“=(-1严是发散的证设li mx =a,由定义，对于=,，0,使得当N时，恒有I x“一 a l0,证 明 数 列 乙=1 的极限是0.n11.2.2函数极限数列可看作自变量为正整数n的函数：X,=/(),数列 相 的极限为a,即：当自变

10、量取正整数且无限增大(-oo)时，对应的函数值/()无限接近数a.若将数列极限概念中自变量和函数值/(”)的特殊性撇开，可以由此引出函数极限的一般概念：在自变量x的某个变化过程中，如果对应的函数值/(x)无限接近于某个确定的数4,则A就称为x在该变化过程中函数/(x)的极限.显然，极限4是与自变量x的变化过程紧密相关，自变量的变化过程不同，函数的极限就有不同的表现形式.本节分下列两种情况来讨论：1、自变量趋于无穷大时函数的极限；2、自变量趋于有限值时函数的极限.内容要点一、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于有限值时函数的极限三、左右极限的概念四、函数极限的性质：唯 一 性 有 界 性 保 号 性五、子序列的收敛性10例题选讲自变量趋于无穷大时函数的极限例 1(EO1)证明 lim=0.X-8 Xm a sinx 八 sinx证因为-()=-X X 0,可取X=-,则当忖 X时,k恒 有-0 0,要使只要2y,即，6(不妨设2就可以了.因此，对于任意给定的。,In 2取 X=1,则当x X 时，-0 恒成立.In 2V2J所 以 妈 出注：同理可证：当0 q l时，lim q1=

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