高等数学极限练习题答案

1、高等数学极限练习题答案f?x?x 2x 3?l?x?l与函数g?x?x?l相同.错误当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。f?x?x 2x 3?l?x?l与g?x?函数关系相同，但定义域不同，所以f?x?与 g?x?x?l是不同的函数。2、如 果f?x?M,则f?x?为无穷大.错误根据无穷大的定义，此题是错误的。、如果数列有界，则极限存在.错误如：数列x n?l?是有界数列，但极限不存在n4、n?l i m a n?a,l i m a n?a.n?nnn?错误如：数列a n?l?,l i mx?L但 l i m n 不存在。n?5、如果l i m f?x?A,则 f?x?A?.正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。、如果？，则？?？0?.?1,是？?.,.l i m?l i m?l?O,即？?是？的高阶无穷小量。?27、当x?0 时，l?c o s x 与 x 是同阶无穷小.2x x?2s i n 2s i n?l?c o s x l?l?l i m?l i m 2?正 确V l i m x?0 x?0 x?0 4?x?2x 2x 2?2?正确 l

2、i m1 1?l i m x?l i m s i n?O.x?0 x x?0 x?0 x1错误V lim sin不存在，不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。x?Ox8、limxsin?1?9、lim?l?e.x?0?x?1?错误 Tiin?l?ex?x?x10、点 x?0是函数y?的无穷间断点.xxx?xxlim?l 错 误 lim?,lim?lim?lx?0?0 xx?0?0 xx?0?0 xx?0?0 xx.点 x?0是函数y?的第一类间断点.x111、函数f?x?必在闭区间?a,b?内取得最大值、最小值.x1XX错 误 根据连续函数在闭区间上的性质，f?X?函数f?x?1在x?0处不连续X1在闭区间?a,b?内不一定取得最大值、最 小 值x二、填空题：1、设y?f?x?的定义域是?0,1?,则?f?l?sinx?的定义域是fex的定义域是；f?lgx?的定义域是.答案：V0?e?l V0?l?sinx?lV0?lgx?l2x?xx?k,?x?Z)2?x?2?2?x?0?x?0的定义域是2、函数f?x?O.?x 2?30?x?4?3、设 f?x?s i n x 2,?x?x 2?

3、l,则 f?x?.2?xn?nx x s i n s i nx?l i m?x?x Vl i m n s i n?l i mn?n?x n n?ln n x?l?l?x?x?5、设 f?x?c o s,l i m f?x?.?l?x?l,则 l i m f?x?x?l?0 x?l?0 2?x?l?x?lVI i m f?x?l i m?2,1 i m f?x?l i m?x?l?O4、l i m n s i nx?l?Ox?l?Ox?l?Ox?l?O?l?c o s x l?x?06、设 f?x?x 2,如果f?x?在 x?0 处连续,则a?.2?x?0?al?c o s x l l?c o s x lx?O?l i m?f?O?a?Vl i m,如果在处连续，则f x 22x?0 x?0 22x x7、设 xO 是初等函数f?x?定义区间内的点，则;初等函数f?x?在定义区间内连续，l i m f?x?f?x O?x?x Ox?x O8、函数 y?V l i mx?l1x?1 22当x?时为无穷大，当x?时为无穷小.1x?l?,l i mx?19、若 l i mx?xx?1 2?01

4、).2?x?l?a x?b?O,则 a?,b?.1 1?x x 2?x?2n、f?x?2的连续区间是.x?4 x?3a x?2s i n x?2,则 a?1 2、若 l i m.x?xa a x?2s i n x s i n x?l i m?l i m?a?2?a?0?a?0?2?l i m x?x?x?x x?1?21 3、l i msinx?is,limxnx?x?x1xx?01?,xkxlim?l?x?l?k,lim?l?.?x?x?sinlx?lkV limsinxl1?lim?sinx?O limxsin?limx?x?xx?xxx?lxlim?l?x?lim?l?x?0 x?01 x 1?x1?1?e?l l i m?l?l i m?x?e kx?x?x?x?x?k x1 4、x?l i m s i n?i c l a r c o n t,mn?x?三、选择填空：1、如果l i m x n?a,则数列x n 是a.单调递增数列b.有界数列c.发散数列32、函数 f?x?l o g a x?x 2?l 是a.奇函数b.偶函数c.非奇非偶函数f?x?l o g a?x?2?1?

5、l o g l a?x?x 2?1?l o g a x?x 2?l?f?x?3、当 x?0 时，e x?1 是 x的a.高阶无穷小b.低 阶 无 穷 小 c.等价无穷小4、如果函数f?x?在 x O点的某个邻域内恒有f?x?M,则 函 数 f?x?在该邻域内条件下趋于？?.a.x?l b.x?l?0c.x?l?06、设函数 f?x?s i n xx,则 l i m x?0 f?x?a.1 b.1 c.不存在 Vs i n xx l i m?l i m?s i n x s i n x?0?0 x x?0?0 x?x l i m?0?0 x?1l i m s i n x s i n x Ox?x l i m?0?0 x?1 x?0?根据极限存在定理知：l i m x?0f?x?不存在。7、如果函数f?x?当 x?x O时极限存在,则函数f?x?在 x O点 a.有定义?b.无定义c.不一定有定义丁f?x 当x?x O时极限存在与否与函数在该点有无定义没有关系。、数列1 ,1 ,1 2,2,1 3,3,，1n，n,当 n?时 为 a.无穷大?b.无穷小c?.发散但不是无穷大9、函数f x?在

6、 x O点有极限是函数f?x 在 x O点连续的a.充分条件b.必要条件c.充分必要条件1 0、点x?0 是函数a r c t a n1x的 a.连续点b.第一类间断点c.第二类间断点Vl x l i m?0?0a r c t a nx?l?x l i m?0?0 a r c t a n x?2根据左右极限存在的点为第一类间断点。1 1、点 x?0是函数s i n1x的 a.连续点b.第一类间断点c.第二类间断点四、计算下列极限:n n1、l i m?l?n?3nn解l i m n?l?n?3n?l i m n?n l 3?n)?34c )2、l i mt a n 3xx?0 s i n 2xt a n x 33x 31 i?l i m?解 x?0s i n x 2x?0 2x 23、l i m?x?x?9?l i mx?x?l i mx?x?x?x?x?x?x?x?x?x?x?l i mx?2x?x?l?1?21 i m4、l i mn?x?n2?n?l?n 2?n?解I i m n 2?n?l?n 2n?n?n?l i mn?2?n?l?n 2?n2n2?n?l?n 2?n2n?n

7、?l?n?n1 2?2n?l?l i m?l i m?ln?I l l n 2?n?l?n 2?n n?2?n n nx 3?x 25、l i mx?O?Ox?s i n xx 3?x 2x?x l i m?l i m?l i m x?O?Ox?s i n x x?O?Ox?s i n x x?0?0 x s i nx?x?l2x?0?x l?s i n x l?xx 2?6、l i mx?0 x s i n x?x?Ox 2?15?l i mx?01 x 2?当 x?x O 时，设？l=o,?l?o 且 l i m 求证：l i mx?x O?存在，？?1?1x?x O?l i mx?x O9 9若当x?0时，?2?1与？c o s x?l是等价无穷小，则a?1 31 3A B C.?D.?.2222答阶的是2当x?0时，下述无穷小中最高A x Bl?c o s x C?xn?2?1 D x?s i n xn答n?求 l i n m?l n?l n?之值.求极限 l i m n s i n.2e?l?x l l求极限 l i m l n.l i m 3x?0 n?2n x s i n

8、 xx22的值?_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _设有数列 a l?a,a 2?b ,a n?2?求证：l i m y n?l i m 及l i m a n.n?n?n?a n?Pa n2设 x l?a,x 2?b.x n?2?记：y n?l x n?l?s i n x2x n x n?l x n?x n?l1,求 l i m y n 及 l i m x n.n?n?x n求极限l i mx?0?c o s xX2之值.设 limu?A,A?0；且 limv?Bx?xOx?xO试证明：limux?xOv?A.Blim?ln?2?x?l1A.?B.1 C.0 D.In2答limx?0sinxx?A.1 B.e C.e D.22答设 u?l?x s i n 求：l i m21 2.f?u x及 l i m u 之值，并讨论x?0f?l u?lu?ll i mf?u?l u?l的结果.x?0l i mx?9 x?x?6xx?32的值等于_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l i me?4 ex?x?xX?3e?2e?1A B.2 C.1 D.不存在3答：lim835x?

9、A.?1 B.1 C.1 2?3205 3D.不存在答：lim321510 x?_ limxe?el?2xx?xx?0的值等于_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _求极限limx?3x?2x?x?x?l32求 lim.?6x?x?lx?0 x之值.已知：l i m u?,l i m u v?A?Ox?x Ox?x O问l i m v?为什么?x?x O关于极限l i m5 351结论是：5 4x?03?e xAB 0 CD不存在答设l i m x?x f?A,l i m g?,则极限式成立的是x?x OA.l i m f x?x g?OOB.l i mg x?x f?C.l i m x?x f g?D.l i m fx?x)?答 f?e xc o s x,问当x?时，f是不是无穷大量.l i m t a n x?lx?0a r c t a nx?A.0 B.不存在.C.?2 D.?2答l i ma r c t a nx?x?A.0 B.?C.1D.?2答l i m2x?l?x?x 2?3A.2 B.?2 C.?2 D.不存在答设f?31,则 f?_ _ _ _ _ _ _ _ _

10、_2?exl i m a r c c o tl x?0 x?A.0 B.?C.不存在.D.?2答 l i m a?c o s x?0,则其中 x?0 1 n?xa?A.0 B.1 C.2 D.?3答lime2xx?0?e?3x的值等于_ _ _ _ _ _ _ _ _ _l?cosx2x?xlimx?0?A.2 B.?2 C.不存在.答：设f?px?qx?5x?52，其中P、q为常数.D.0问：P、q 各取何值时，x?P、q 各取何值时，l i m f?O；x?P、q 各取何值时，x?5求极限l i mx?22?4.求极限l i m3232x?已知l i mx?3?A?B?c2?2?x?l?0试确定A、B、C 之值.已知f?试确定常数a x3?b x22?c x?dx?x?2a,b,c,d 之值.,满足 l i m f?O.x?x?l已知l i mx?b 3x?l?x?3x?x OX?1?4,试确定a,b之值.1?上述说法是否正确？为什么？若 l i m?O,则 l i mx?x O当x?x O时，f是无穷大，且l i m g?A,x?x O证明：当x?x O时，f?g也为无穷大.用无

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