高中数学必修二直线与圆的综合问题精选

1、直线与圆一 .解答题(共10小题)1.已知直线x-y+3=0与圆心为(3, 4)的圆C相交，截得的弦长为 2n.(1)求圆C的方程；(2)设Q点的坐标为(2, 3),且动点M到圆C的切线长与| MQ|的比值为常数k (k0).若动点M的轨 迹是一条直线，试确定相应的k值，并求出该直线的方程.2,已知直线l: y=x+2被圆C: (x-3) 2+ (y-2) 2=r2 (r0)截得的弦AB的长等于该圆的半径.(1)求圆C的方程；(2)已知直线m ： y=x+n被圆C：(x-3)2+(y-2)2=r2(r 0)截得的弦与圆心构成三角形CDE若 CDE的面积有最大值，求出直线 m： y=x+n的方程；若 CDE的面积没有最大值，说明理由.ri _ 彳 I P*3,已知M (4, 0), N (1, 0),曲线C上的任意一点P满足：MN?MP=6|PN|(I )求点P的轨迹方程；(口)过点N (1, 0)的直线与曲线C交于A, B两点，交y轴于H点，设证=入 1直N,HB = /2BN ,试问k+卜 是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由.4.已知动圆P与圆F1： (

2、x+2) 2+y2=49相切，且与圆 巳：(x-2) 2+y2=1相内切，记圆心P的轨迹为曲线 C. (I )求曲线C的方程；(口)设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，。为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线 C于M, N两个不同的点，求 QMN面积的最大值.5 .已知动圆P过定点。)且与圆n：+ =16相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C.(I )求曲线C的方程；(口)过点D (3, 0)且斜率不为零的直线交曲线 C于A, B两点，在x轴上是否存在定点 Q,使得直线AQ, BQ的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.6 .如图所示，在4在平面内移动顶点ABC中，AB的中点为O, 口0庆=1,点D在AB的延长线上，口.固定边AB,C,使彳#圆M与边BC,边AC的延长线相切，并始终与 AB的延长线相切于点 D,记顶点C的轨迹为曲线 E以AB所在直线为x轴，。为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系.(I )求曲线r的方程;(口)设动直线l交曲线r于E、F两点，且以EF为直径的圆经过点O,求 OEF面积的取值范围.7 .已知 ABC的顶点A(1, 0),点B在x轴上

3、移动，|AB|=|AQ,且BC的中点在y轴上.(I )求C点的轨迹r的方程；(口)已知过P (0, -2)的直线l交轨迹rT不同两点 M, N,求证：Q (1, 2)与M, N两点连线QM, QN的斜率之积为定值.8 .已知圆M: x2+y2+2y-7=0和点N (0, 1),动圆P经过点N且与圆M相切，圆心P的轨迹为曲线 E.(1)求曲线E的方程；(2)点A是曲线E与x轴正半轴的交点，点B、C在曲线E上，若直线AB、AC的斜率ki,k2,满足k1k2=4,求 ABC面积的最大值.9 .已知过点A (0, 1)且斜率为k的直线l与圆C: (x-2) 2+ (y-3) 2=1交于点M, N两点.(1)求k的取值范围；(2)请问是否存在实数k使得而而二12 (其中。为坐标原点)，如果存在请求出k的值，并求|MN|;如果不存在，请说明理由.10 .已知O为坐标原点，抛物线 C： y2=nx (n0)在第一象限内的点 P (2, t)到焦点的距离为 一，C在点P处的切线交x轴于点Q,直线l1经过点Q且垂直于x轴.(1)求线段OQ的长；(2)设不经过点P和Q的动直线l2： x=my+b交C交点A

4、和B,交1i于点E,若直线PA PB的斜率依次成 等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由.直线与圆参考答案与试题解析一 .解答题(共10小题)1.已知直线x-y+3=0与圆心为(3, 4)的圆C相交，截得的弦长为2.叵(1)求圆C的方程；(2)设Q点的坐标为(2, 3),且动点M到圆C的切线长与| MQ|的比值为常数k (k0).若动点M的轨 迹是一条直线，试确定相应的 k值，并求出该直线的方程.【分析】(1)求出圆心C到直线l的距离，利用截得的弦长为 2.J力求得半径的值，可得圆 C的方程；(2)设动点M (x, y),则由题意可得2 T =k,即)=k,化简可得(k2 IK 九X厂3 )21) ?x2+(k21)?y2+(6 4k2)x+ (8 6k2)y+13k29=0,若动点 M 的轨迹方程是直线，贝Uk21=0,即可得出结论.【解答】解：(1)圆心c到直线i的距离为|3一壮3| =回 I V2 |.截得的弦长为2,;半径为2,:圆 C:(X - 3) 2+ (y 4) 2=4；(2)设动点M (x, y),则由题意可得止二l=k,即丫 口 +7 =(IK 九X厂3户化简可

5、得(k21)?x2+(k21)?y2+(6 4k2)x+ (86k2)y+13k221=0,若动点M的轨迹方程是直线，则 k2 1=0, . k=1,直线的方程为x+y 4=0.【点评】本小题主要考查直线与圆的位置关系，弦长公式的应用，圆的一般式方程，属于中档题.2,已知直线l: y=x+2被圆C： (x-3) 2+ (y-2) 2=r2 (r 0)截得的弦AB的长等于该圆的半径.(1)求圆C的方程；(2)已知直线m ： y=x+n被圆C：(x-3)2+(y-2)2=r2(r 0)截得的弦与圆心构成三角形CDE若 CDE的面积有最大值，求出直线 m： y=x+n的方程；若 CDE的面积没有最大值，说明理由.【分析】(1)根据直线和圆相交得到的弦长公式求出圆的半径即可求圆C的方程；(2)根据直线和圆相交的位置关系，结合CDE的面积公式即可得到结论.【解答】解：(1)设直线l与圆C交于A, B两点.直线l: y=x+2被圆C： (x-3) 2+ (y-2) 2=r2 (r0)截得的弦长等于该圆的半径, .CAB为正三角形，;三角形的高等于边长的等，:圆心C到直线l的距离等于边长的 返.2;

6、直线方程为x-y+2=0,圆心的坐标为(3, 2),:圆心到直线的距离 d=l S-24-2 |=-f2=J 3 ,VIh - 2 2 r .r=瓜,二圆 C 的方程为：(x-3) 2+ (y-2) 2=6.(2)设圆心C到直线m的距离为h, H为DE的中点，连结 CD, CH, CE.在4CDE中，:辽需，h=hg? 2 e , 2:SjOEHh-彳引=3,当且仅当h2=6 h2,即h2=3,解得h=巧时， CDE的面积最大.=： 二冬 |11+1 |4力号 V1+L 2| n+1| =/&,:n= 土泥A :存在n的值，使得 CDE的面积最大值为3,此时直线m的方程为y=xJWT.【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据弦长公式是解决本题的关键.3,已知M (4, 0), N (1, 0),曲线C上的任意一点P满足：MN?MP=6|PN|(I )求点P的轨迹方程；(口)过点N (1, 0)的直线与曲线C交于A, B两点，交y轴于H点，设HA = HAN,HB =妞N ,试问k+卜是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由.【分析】(I )求出向量的坐

7、标，利用条件化简，即可求点P的轨迹方程；(口)分类讨论，利用 而=人面，HB =国I,结合韦达定理，即可得出结论.【解答】解：(I )设 P (x,y),则 MN= ( - 3,0), I1F*=(x - 4,y) ,PN=(1 - x,y). MN?MP=6| PN| , ： 3X (x 4) +0Xy=6j_产+ .2,22化简得Z+ 匚=1为所求点P的轨迹方程.4分4(口)设 A (xi , y1)，B (x2, y2).当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x=my+1 (m，0),则H (0,JT第#页(共13页)从而 HA= (Xi,yJ)，AN=(1Xi, yi),由 HA=得(Xi,y1+L)=入1(1Xi, yi),mm:-而=i+-同理由得-?2=i（方+兀）=22由直线与椭圆方程联立，可得（4+3m2） y2+6my 9=0,.兀+ 二 8+ 4=3当直线 l与 x轴重合时，A (-2, 0), B (2, 0), H (0, 0), =-.:M+ 辰-1-ii 分综上，方+力为定值一.i2分.3【点评】本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆位置关

8、系的运用，考查分类讨论的数 学思想，属于中档题.4.已知动圆P与圆Fi： （x+2） 2+y2=49相切，且与圆F2： （x-2） 2+y2=i相内切，记圆心P的轨迹为曲线 C. （I ）求曲线C的方程；（口）设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，。为坐标原点，过点 F2作OQ的平行线交曲线 C于M, N两个不同的点，求 QMN面积的最大值.【分析】由已知条件推导出| PFJ+I PF2|=8| FM =6,从而得到圆心P的轨迹为以弓，F2为焦点的椭圆， 由此能求出圆心P的轨迹C的方程.（II）由MN/OQ,知4QMN的面积= OMN的面积，由此能求出 QMN的面积的最大值.【解答】解：（I ）设圆P的半径为R,圆心P的坐标为（x, y）,由于动圆P与圆Fi: （x+2） 2+y2=49相切，且与圆F2： （x-2） 2+y2=i相内切，所以动圆P与圆Fi只能内切.分）所以 | PFi|+| PF2| =7 R+R i=6 | FiF2| =4.（3 分）所以圆心圆心P的轨迹为以5, F2为焦点的椭圆，其中 2a=6, 2c=4,a=3, c=2, b2=a2 c2=5.22所以曲线C的方程为3+工一=i .（4分）95第#页（共i3页）(口)设 M (xi, yi), N(X2, y2), Q(X3, y3),直线 MN 的方程为 x=my+2,(5m2+9) y2+20my 25=0,（7分）因为MN / OQ, ： QMN的面积=AOMN的面积,9,O到直线 MN : x=my+2的距离d=后（9分）所以 QMN的面积（10分）令J皿2十=t,则 m2=t2 1 (t0), S=3cH305t.4 St设f(t)=5t十则F (t)=5 tt5 t 2-4第#页（共13页）5t2-4 -因为01,所以F二” 2f 0.所以f （t）=，在1，+8）上单调递增.所以当t=1时，f （t）取得最小值，其值为 9.（11分）所以 QMN的面积的最大值为 卫（12分） a【点评】本题考查椭圆的标准方程、直线、圆、与椭圆等椭圆知识，考查推理论证能力、运算求解能力, 考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等.5.已知动圆p过定点）且与圆n：=16相切，记动圆圆心p的轨迹为曲线C.（I ）求曲线C的方程；（口）过点

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